ensemble quotient de Z et classe de x

[invitee4fdb7c8]

Bonjour,
j'ai une difficulté à me représenter la classe de x :

Définition : Pour tout entier n>= 2, Z/nZ est l'’ensemble quotient de Z par la relation de congruence modulo n.
On peut noter Z/nZ = {_0; _1; _2; ...;_(n-1)} où _x est la classe de x c’'est à dire l'’ensemble des nombres dont
la division euclidienne par n a pour reste x.
On dé…finit une opération somme notée + et une opération multiplication notée X  sur Z/nZ de la façon
suivante : _a + _b = _(a+b) et _a X _b = _(aXb)
Proposition : Les opérations + et X sont bien défi…nies et (Z/nZ;+;X) est un anneau commutatif.

j'ai une difficulté quand je veux décrire _x par extension, que j'expose avec un exemple Z/10Z :
_2 = {2,12,22,32,...} et _3 = {3,13,23,33,43, ...}
alors _2X_3 = {6,26,46,66,86,36,96, ...} et _6 = {6,16,26,36,46,56,76,86,96,... }
du coup je n'ai pas _2X_3 =_(2X3) car il me manque dans le premier : 16,56,76, ...

Pouvez vous m'expliquer où se cache mon erreur ?
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[invite76543456789]

Salut!
Ton erreur est que tu as une tres mauvaise vision de ce qu'est le passage au quotient.
Pour faire la mutliplication entre deux classes, tu prend un representant de l'un, un representant de l'autre, tu les multiplies et du regarde la classe du resultat. Si ce resultat ne depend pas du choix des representants que tu as choisi alors elle est bien définie.
Alors certes les elements du quotient sont des classes (donc des ensembles) mais on ne les traites pas comme ca, si tu reviens a chaque fois a la defintion en tant qu'ensemble, tu ne vas rien comprendre a la notion de quotient.

[invitee4fdb7c8]

merci pour cette réponse mais je reste sur ma faim :

"Alors certes les elements du quotient sont des classes (donc des ensembles) mais on ne les traites pas comme ca"

-> mais alors comment on les traite ?

"si tu reviens a chaque fois a la defintion en tant qu'ensemble, tu ne vas rien comprendre a la notion de quotient"

-> pourquoi ? comment faut-il prendre _2 x _3 ? par quelle opération entre les éléments de _2 et _3 obtient on les éléments de _2 X _3 ?

merci pour votrai aide

[invite57a1e779]

pourquoi ? comment faut-il prendre _2 x _3 ? par quelle opération entre les éléments de _2 et _3 obtient on les éléments de _2 X _3 ?

La multiplication dans Z induit une matrice sur l'ensemble des parties de Z ; pour deux parties quelconques et : . Il est possible de multiplier ainsi n'importe quelles parties de Z, en particulier des classes modulo, c'est ce que tu fais en écrivant :

B_2X_3 = {6,26,46,66,86,36,96, ...}

Mais ce n'est pas cette multiplication que l'on utitlise dans Z/nZ. On pose:

_a X _b = _(aXb)

et c'est cette seule formule qui permet le calcul d'un produit de classes. On obtient les éléments de _2 X_3 en choisissant un élément de _2, par exemple 12, puis un élément de _3, par exemple -7, puis on les multiplie, on obtient par exemple -84, et on détermine, si on en a envie, les éléments de _(-84).

Il y aurait a priori la même distinction entre l'addition des parties quelconques de Z et la multiplication dans Z/nZ, mais les deux opérations conduisent, dans ce cas et par hasard, au même résultat.

"Alors certes les elements du quotient sont des classes (donc des ensembles) mais on ne les traites pas comme ca"

-> mais alors comment on les traite ?

C'est exactement comme les rationnels : un rationnel est un ensemble de fractions : , et un élément de l'ensemble est une «fraction représentant le rationnel».
On travaille sur les rationnels via des représentants sous forme fractionnaire et, en cas de besoin, on change de représentant : on réduit par exemple au même dénominateur.

Ici, c'est le même principe, un entier modulo n est un objet (comme le rationnel) sur lequel on ne peut travailler qu'à travers des représentants (l'analogue des fractions).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4fdb7c8]

merci pour tes explications
ça me semble clair ; la multiplication de 2 classes ne consiste pas à multiplier les éléments des 2 classes, il s'agit d'une nouvelle opération avec sa définition propre _a x _b = _(a x b).
Les éléments de _(a x b) ne s'obtiennent pas en multipliant chaque élément de _a avec chaque elt de _b.
Dans Z/nZ, les éléments de _(a x b) sont les éléments y de Z pour lesquels y - (axb) divise n.
merci pour ton aide