démonstration de la propriété de borel lesbegue

[invite76db3c86]

Bonjour à tous ,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...Borel-Lebesgue

En lisant la démo de la propriété susdite , je me rend compte que je n'ai pas bien compris au moins un point : on démontre par l'absurde que M , i.e l'ensemble des points de [a,b] tq il existe un recouvrement fini de [a,m] , n'est pas de la forme [a,c[.
On prend donc un ouvert w contenant c et on affirme que w contient nécessairement un segment [m,c] où m est compris entre a et c strictement .
Je vois pas pourquoi en fait : si on muni IR de la topologie discrète (je crois avoir compris alors que tout élement de P(IR) est un ouvert , y compris les singletons) , et que l'on pose w = {c} , alors on obtient qu'il existe m < c tq m appartient à {c} ... non ?

Merci d'avance d'essayer d'éclairer ma lanterne ....
Bonne soirée
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[invite57a1e779]

Dans la page en référence, il est implicite que la topologie utilisée est la topologie usuelle de R définie par la distance :

d(x,y)=|x-y|.

Pour la topologie discrète, seules les parties finies possèdent la propriété de Borel-Lebesgue.
Pour la topologie grossière, toutes les parties de R possèdent la propriété de Borel-Lebesgue.

[invite76db3c86]

merci beaucoup ...
Donc les intervalles fermés bornés ne sont pas des compacts pour la topologie discrète ?

Quand on dit "les compacts de IR sont les intervalles fermés bornés" , il faut donc comprendre que l'on munit IR d'une topologie grossière ou bien d'une topologie engendrée par une métrique (particulière) ?
La topologie discrète est elle la seule qui exclu la propriété de borel lesbegue sur IR ?

[invite57a1e779]

Sur tout ensemble qui possède plus de deux éléments, il existe plusieurs topologies. On est donc obligé de préciser systématiquement la topologie utilisée lorsque l'on énonce un résultat.

Lorsqu'on ne précise pas la topologie utilisée, c'est qu'il y a une topologie usuelle bien connue, et que c'est celle que l'on prend en compte.
Dans le cas de R, c'est la topologie métrique définie par la valeur absolue.

Pour parler de compacts et de fermés, il suffit d'un espace topologique.

Pour parler de bornés, il faut une notion de «bornitude». Dans le cas de R, c'est la relation d'ordre qui définit usuellement les ensembles bornés.

Mais attention, si l'on met une distance sur R, on se retrouve avec deux notions d'ensembles bornés : les bornés pour la relation d'ordre d'une part, les bornés pour la distance envisagée d'autre part. Il se peut très bien que ce ne soit pas les deux notions de bornés soient distinctes, même lorsque la distance définit la topologie usuelle.

[A voir en vidéo sur Futura]