Les projecteurs

[inviteda3529a9]

Bonjour à tous.
Comment démontrer que
"E=F (+) G, P la projection sur F parallèlement à G. Alors tr(P)=rg(P)=dim(F) si P est un projecteur, où (+) représente la somme directe ?
Merci d'avance et à tout de suite.
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[Tiky]

Bonjour,

L'application est la projection sur F parallèlement à G si pour tout vecteur (décomposition selon la
somme directe ), p associe à . On voit facilement que G est le noyau de .

Tu utilises le théorème du rang pour montrer que

Pour la seconde égalité, tu sais que .
Tu commences par choisir une base de .
Remarque que est l'identitée sur . Tu complètes ta base. Quelle tête a la matrice de p dans cette base ?

Je te laisse conclure.

[gg0]

Bonjour.

Tu peux utiliser une base de F et une base de G pour fabriquer une base de E, puis écrire la matrice de p dans cette base.

Cordialement.

[inviteda3529a9]

Je ne vois pas vraiment tiky, pourriez vous m'éclairer ? SVP

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Formule 1.

Et si tu essayais de faire ce qu'on te propose ?

Cordialement.

[Tiky]

Soit une base de .
Soit une base de .

Comme , est une base de .
Alors pour i allant de 1 à m et pour j allant de 1 à n car on sait que d'une part et
d'autre part .

La matrice de dans la base est de la forme :

[invite705d0470]

C'est à dire que la matrice associée à un projecteur est semblable à la matrice canonique de rang r (celle que Tiky a écrite)

[Tiky]

Au passage il n'y pas besoin du théorème du rang comme je l'avais dit dans ma première intervention. En effet en reprenant mes notations, on a dim(F) = m et m est le rang de la matrice de p dans la base B.
Donc le rang de l'application p est bien dim(F) et on a aussi immédiatement la trace.