Déterminant en tant que polynôme.

[invite3c51923e]

Bonjour,

Pour montrer que l'ensemble des matrices inversibles et dense dans Mn(R), on utilise que det(A-(1/n)In) ne peut être nul qu'un nombre fini de fois mais pourquoi il (et je ne sais pas trop ce qu'est ce "il" (f(x) = det(A-xIn)? l'application déterminant sur l'ensemble des matrices?..)) ne pourrait il pas être le polynôme nul?

Question surement très bête qui vient surtout du fait que je ne comprend jamais vraiment le lien entre polynôme et déterminant (Même si oui je le visualise de manière fugitive quand j'ai sous les yeux la forme développé du déterminant).

Merci.
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[invite34b13e1b]

Salut,
Tu peux jeter un coup d'oeil la dessus: http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C...%C3%A9ristique
Tu verras notamment det(A-xIn) est notamment un polynome de degré n.

[Tiky]

Bonjour,

La fonction f(x) = det(A-xIn) est une fonction polynomiale de degré n.
Tu peux le démontrer par récurrence sur la taille de la matrice et en utilisant le développement du déterminant par rapport à la première ligne / colonne.

[invite3c51923e]

Merci beaucoup! (J'ai maintenant parfaitement compris)

[A voir en vidéo sur Futura]