Bonjour a tous , ca fait depuis un bon bout de temps que j'essaye de faire ce probleme mais je n'y ariive pas.
Dans ce probleme on se propose d'étudier les polynomes P a coefficient réels ou complexes de deg superieur ou egal a 2 qui verifient P=QP''
dans les questions anterieurs je prouve qu'un polynome P vérifiant P=P''Q est unique si on impose qu'il est unitaire.
Soit P=QP'' , 1) montrer que si (a,b) sont deux element de C avec a different de 0 , le polynome P* défini par P*(aX+b) vérifie egalement P=QP'' e t determiner en fonction de Q le polynome Q*
2) soir x' une racine de P dans C on suppose que la multiplicité d de x' est superieur ou egal a 2 . Quel est lordre de multiplicité de x' pour P'' et en déduire lexistence de R et S polynomes tels que (X-x')²R=QS avec S(x') et R(x') different de 0. en deduire que x' est racine double de Q
3) on suppose dans cette question que Q=cX² , n deg de P , en ecrivant P sous la forme P = somme de 0 a n des a_k X^k determiner explicitement P a laide du seul coefficient a_n. on verifiera que c=1/n(n-1)
pour la question 1 , je ne vois ou est la difficulté donc je pense avoir raté un truc ..
pour la 2eme je bloque pour montrer l'existence des deux polynomes car a chaque fois que je trouve quelque chose c'est soit que R(x')=0 ou (x')=0 et pour la 3eme je ne vois pas comment lexprimer qu'avec a_n..
merci de votre aide
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avec (X-x') et