Equation trigonométrique compliquée !

[ModuloPi]

Bonjour à toutes et à tous !

Voici mon problème. J'ai à résoudre une équation trigonométrique à laquelle j'ai appliqué différentes méthodes : les identités trigonométriques (les formules d'addition et de différence ; les formules de Simpson ; les formules d'Euler ; les formules de linéarisation lorsque les cas se sont présentés ; ...), la dérivation, la recherche d'une primitive, ... J'ai l'impression d'avoir retourné le problème dans tous les sens mais sans succès, me demandant même s'il existe un moyen de la résoudre de manière rigoureuse.

L'équation est la suivante (la variable est ) :



N.B. : attention au signe moins au numérateur se situant seulement devant

Je désespère de résoudre ce problème, mais peut-être sauriez-vous m'aider ? Merci d'avance.
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[syborgg]

voyons a vue d'oeil c'est le typique probleme de taupin sans aucun autre interet que de verifier la dexterite calculatoire et la capacite de decouvrir des "trucs" qui en general ne s'appliquent que dans ce cas... les mathematiciens de l'epoque d'euler raffolaient de ce genre de defis

[ModuloPi]

Malheureusement pour moi, Syborgg, je joue de malchance : je n'ai réussi à prendre contact avec aucun de ces mathématiciens, ou probablement serait-ce parce que je n'ai pas eu la bonne idée de naître à l'époque d'Euler ? ...

Plus sérieusement, les solutions de cette équation existent bel et bien, mais il me semble difficile de les trouver. Pourriez-vous m'aider, s'il vous plait ?

[ModuloPi]

La difficulté que je rencontre dans ce problème, c'est la puissance , je ne parviens pas à simplifier l'écriture...

Si quelqu'un n'avait ne serait-ce qu'une simple piste pour avancer, ce serait déjà très bien.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Une idée, sans aucune garantie !!!
Remplacer les expressions entre crochets (je les appelle respectivement A et B) par e^ln(A) et e^ln(B) et obtenir finalement à résoudre e^ln(A)ln(2) = e^ln(B)ln(3) ou encore ln(A)ln(2)=ln(B)ln(3)

[danyvio]

Une idée, sans aucune garantie !!!
Remplacer les expressions entre crochets (je les appelle respectivement A et B) par e^ln(A) et e^ln(B) et obtenir finalement à résoudre e^ln(A)ln(2) = e^ln(B)ln(3) ou encore ln(A)ln(2)=ln(B)ln(3)

Je voulais dire "entre accolades"

[phys4]

Bonjour,

Il est possible de trouver des intervalles de définition : les puissances sont des exposants réels non entiers, les termes doivent donc être positifs.
Cela implique des intervalles pour x tel que
sin(x.ln2) et sin(x.ln3) soient de signe opposés et dépendant du signe du dénominateur.

[ModuloPi]

Bonjour et merci beaucoup de vos réponses !

Phys4, merci pour tes conseils que je prends en compte.

Danyvio, j'ai bien tenté aussi cette méthode mais malheureusement , j'aboutis encore dans une impasse...

J'ai tenté également la dérivation, une seconde dérivation, en me demandant s'il existait un lien entre les solutions d'une équation de départ et les solutions de ses dérivées ? Ou voyez-vous encore d'autres pistes ?

[gg0]

A priori,

il n'y a pas de lien entre les solutions de f(x)=0 et celles de f'(x)=0.
Si f est dérivable, et si f(a)=f(b)=0, alors ... théorème de Rolle.
Ce qui n'aide pas quand justement on cherche a et b !!!

Cordialement.

NB : Qu'est-ce qui te fait croire qu'on peut calculer des solutions ? Déjà trouver combien il y en a me semble assez délicat !!

[phys4]

NB : Qu'est-ce qui te fait croire qu'on peut calculer des solutions ? Déjà trouver combien il y en a me semble assez délicat !!

J'ai essayé de caractériser les intervalles possibles de définition, il y a une infinité de petits intervalles possibles, et probablement une solution dans chacun de ces intervalles.

[gg0]

Tu réponds à côté. Et le "probablement" n'est pas convainquant.
Il faut une forte raison pour s'attaquer à une équation aussi particulière ...

[breukin]

Il me paraît évident qu'il n'y aura pas de solutions analytique.
Je l'aurais écrit, pour simplifier l'écriture (sinus est impair) :



ou



Pour que les expressions aient un sens il faut qu'on ait simultanément (on ne peut calculer une puissance irrationnelle que d'un nombre positif) :

[ModuloPi]

Merci gg0, et merci à tous de votre intérêt.

breukin, pour le domaine de définition,aucun problème. Pour la réécriture de la formule, j'avais aussi pensé à ceci :



Afin de mettre en évidence une solution pour x = 0 (qui appartient bien au domaine de définition de la formule).

Je me demande s'il existerait une simplification de l'écriture qui permettrait d'en trouver d'autres...

[breukin]

est un cas dégénéré, car la formule n'a de sens ni dans un voisinage à gauche ni dans un voisinage à droite.

[ModuloPi]

A partir de cette dernière écriture, le membre suivant (élevé à une puissance irrationnelle) étant en facteur derrière les 2 autres membres restants, je me suis également demandé si l'on pouvait "éventuellement" * compter dans les solutions celles du domaine de définition qui permettraient d'obtenir :



(N.B. : * "éventuellement", c'est-à-dire dans l'hypothèse où il existerait des solutions dans le domaine de définition)

[breukin]

Non, parce que la bonne écriture est celle que j'ai donnée.
Tabulez avec excel pour comprendre ce qui se passe, et trouver les solutions approchées.

[ModuloPi]

Oui breukin, je me rends bien compte que j'ai écris une ânerie, c'est surtout que je ne sais plus quoi faire pour trouver une piste...

Je me suis encore demandé s'il existait une formule de puissances des fonctions trigonométriques généralisant sur son domaine de définition (avec complexe et ) ?...

[breukin]

Il n'y a pas de piste. Il n'y aura pas de solution analytique à une telle équation transcendante. Il n'y aura que des résolutions numériques.

Ce que vous vous demandez n'aura pas d'application en l'espèce. La fonction est parfaitement définie pour y complexe et pour x complexe appartenant au plan privé des réels négatifs. Il suffit donc de trouver un domaine dont l'image par le sinus est ce plan coupé pour définir .