Résolution 2 équations à 3 inconnues

[invite4f150769]

Bonjour à tous,

Je bloque sur une superbe équation... C'est pour cela que je viens chercher de l'aide ici !

Mon problème, comme expliquée dans le titre, j'ai 2 équation, avec 3 inconnues, et je n'arrive pas à trouver les solutions...

Voici les équations :
X1+X2+X3=-1,8
X1.X2.X3=0,3

La seule évidence est qu'il y a 2 des solutions négatives, et en fait j'aimerais surtout connaitre la solution positive.

J'ai essayé plusieurs méthodes, sans succès... je désespère un peu, aidez moi!!

Merci d'avance à tous ceux qui prendront le temps de m'aider.
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[PlaneteF]

Bonjour,

En fait il y a une infinité de triplets (X₁, X₂, X₃) qui sont solutions de ces 2 équations !

[gg0]

Bonjour.

Supposons connu . Alors si le système a une solution, et sont les racines de l'équation d'inconnue suivante :

Cette équation peut s'écrire uniquement en fonction de et qui sont donnés par ton système en fonction de
Pour qu'il y ait des solutions, il faut que le discriminant soit positif. On tombe sur une inéquation du troisième degré.

Mais n'importe comment, vu la valeur de , il n' y a pas de solution avec , et tous positifs.

Cordialement.

[danyvio]

Pourtant, si on prend par ex x₁=1, on trouve x₂=-0.11159 x₃=-2.68841. J'ai donné une valeur positive arbitraire à x₁ (avec 1 c'est tellement facile) puis résolu x₂+x₃=-2.8 et x₂x₃=0.3
J'ai eu la flemme de développer jusqu'au bout en considérant x₁ comme un paramètre, mais c'est intéressant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Pour qu'il y ait des solutions, il faut que le discriminant soit positif. On tombe sur une inéquation du troisième degré.

Oui, ... et on peut donc aller plus loin ; puisque l'on a :



On peut ainsi étudier la fonction et regarder quand elle est positive.

[gg0]

Danyvio,

ton x2 est négatif.

MC2g :

Je rectifie :
"Mais n'importe comment, vu la valeur de , il n' y a pas de solution avec , et tous positifs."
est une erreur, j'avais lu -0,3 à la place de 0,3.

PlanèteF :

Libre à toi de le faire ....

[danyvio]

Danyvio,

ton x2 est négatif.
....

Ben oui, et alors ?

[PlaneteF]

PlanèteF :

Libre à toi de le faire ....

Je n'ai pas pris le temps de le faire avec le calcul de la dérivée et tutti quanti

En traitant la fonction par logiciel on voit que s'annule pour une valeur et est positif pour :

[gg0]

Reste à assurer qu'il y a deux solutions positives , ce qui n'est jamais le cas vu les signes de la somme (négative) et du produit (positif).

Donc c'est planté !

[PlaneteF]

Reste à assurer qu'il y a deux solutions positives , ce qui n'est jamais le cas vu les signes de la somme (négative) et du produit (positif).

Pourquoi veux-tu "assurer" (sic) qu'il y a 2 solutions positives ?

[danyvio]

Je ne suis pas certain que gg0 a bien lu l'énoncé initial. Ce dernier était peut-être un peu ambigu, et aurait dû parler de racines positives.
D'autre part, il y a bien (démontré par PlanetF qui a eu plus de courage que moi ) une infinité de solutions ..

[gg0]

Effectivement,

j'ai mal lu l'énoncé.
J'étais parti sur la recherche de trois valeurs positives..
Donc soit on part d'un X₃ positif, et les deux autres sont négatifs (signe des racines), soit on prend X₃ négatif, et on a une des deux racines positive. Mais cette racine est un de X₃ du premier cas, et il est inutile de le traiter !! Donc, à permutation près, il suffit de prendre .

En prime, la valeur exacte de :
En posant , .

Cordialement.