Résolution numérique, deux courbes tangentes

[invite25a0cf54]

Bonjour à tous,

J'ai un problème pratique dont je ne trouve pas la solution. Il s'agit de résoudre numériquement un système d'équations. La définition du problème n'est sûrement pas rigoureuse mathématiquement, désolé.

Considérons deux fonctions:
avec x>0 convexe
concave telle que avec x,t>0 (le paramètre t permet de translater la courbe)
Elles ont de bonnes propriétés (), pour t assez petit se coupent forcément en deux points et pour t assez grand ne se coupent pas.

Je cherche à déterminer pour quelle valeur de t les deux courbes se rejoignent en un unique point (et donc tangentes en ce même point) et l'abscisse du point tangent.





On pourrait faire une dichotomie:
1 - Définir tel que pour tmin f et g sont secantes et pour tmax non. Calculer tm=(tmin+tmax)/2 etc...
2 - Ensuite:
2.1 - soit calculer une des deux racines de f-g, calculer les dérivées de f et g en ce point et définir un critère d'arrêt sur la différence des dérivées.
2.2 - soit calculer les deux racines de f-g, déterminer les dérivées en ces points et définir un double critère d'arrêt sur les racines et les dérivées.

Mais comment déterminer si les courbes sont sécantes ou non et éventuellement déterminer une des deux racines ?

On ne peut pas utiliser une deuxième dichotomie car il y a deux ou zéro racines.

Va-t-il falloir programmer quelque chose pour explorer les alentours de t et savoir si f-g change de signe ? Dans ce cas, je peux m'appuyer sur un tracé grossier des courbes pour définir à vue de nez jusqu'où explorer les alentours de t et surtout définir un pas assez petit pour ne pas sauter au dessus de la région entre les deux racines. Mais ca rend la procédure laborieuse et pas du tout automatique.

Merci d'avance !
A+
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[invite25a0cf54]

Bonsoir,

Je viens de penser à un algorithme. Ca serait pour trouver deux racines d'une fonction sur un intervalle dont on est sûr qu'il contient ces deux racines.





Si alors on appelle et .
Sinon on retourne les deux intervalles et et on peut poursuivre sur deux simples dichotomies qui donneront la valeur des racines.

Le problème, c'est que des branches peuvent partir de chaque côté du premier xmed. Toutes ces branches, sauf une, vont se perdre et continuer inutilement. Comment faire pour arrêter la procédure de ces branches "perdues" une fois que l'on a trouvé le bon xmed (qui rend f(min).f(xmed)<0) ?

Merci ! Bonne soirée