Matrices pseudo-magiques

[invitebffc239e]

Bonjour à tous, je bloque sur un exercice :

n désigne un entier naturel fixé, supérieur ou égal à 2.
On note E l’ensemble des matrices A = de telles que les 2n scalaires et lorsque k parcourt [[1, n]], sont égaux (c’est-à-dire que les sommes des coefficients
de toutes les lignes et de toutes les colonnes de la matrice A sont égales). Lorsqu’une matrice A appartient à E, on note s(A) la valeur commune de ces 2n nombres.
On note J la matrice de dont tous les coefficients sont égaux à 1.


J'ai déjà montré que E, muni des lois usuelles de , est un -espace vectoriel et que l’application s, qui, à toute matrice A appartenant à E, associe le réel s(A), est une forme linéaire sur E.

Je dois maintenant montrer que, si A appartient à E, alors AJ = JA = s(A)J et A étant une matrice de telle qu’il existe un réel vérifiant AJ = JA = J, je dois montrer que A appartient à E et préciser qui est .

Je n'ai pas très bien compris et je ne vois pas trop comment faire, pourriez-vous m'aider svp.
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[inviteea028771]

Pour la première question, prend une matrice de E, et calcule la valeur d'un coefficient de AJ, tu va voir, ça se passe bien (pareil pour JA)

Pour la seconde question, même principe, on prend une matrice de Mn(R), et on calcule les coefficients de AJ, or on sait que AJ = aJ, donc on sait quelque chose sur la valeur de ces coefficients, et donc quelque chose sur les coefficients de A. On fait la même chose pour JA, et on peut conclure

Je ne sais pas si c'est clair, j'ai volontairement évité de trop détailler pour te laisser bosser un peu

[invitebffc239e]

Merci, j'ai réussi à répondre à ces questions et on me demande maintenant d'en déduire une caractérisation des matrices de E.
Que cela veut dire exactement et que dois-je faire, je ne vois pas trop. Merci d'avance

[invitebffc239e]

Personne n'a d'idée pour la caractérisation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

On peut peut être dire :

Une matrice A est pseudomagique de somme s si (A-sI)J = 0

[Tiky]

On peut aussi dire que A est magique si et seulement si elle commute avec J.
http://forums.futura-sciences.com/ma...es-atilla.html