Image d'un convexe

[invite4b03bb8f]

Bonjour,

J'ai un petit soucis dans la question suivante:

Étant donnée une fonction continue f sur un intervalle [a,b] dans R.

Question : Est ce que f([a,b]) est forcement un intervalle?

Merci par avance de vos réponses.
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[gg0]

Bonjour.

Je suppose que a est inférieur à b (mais la réponse est oui si a>b)

On trouve ça dans tous les cours de base du supérieur : TVI + "une fonction continue sur un intervalle fermé est bornée et atteint ses bornes".
Très souvent, cette propriété est donnée explicitement : f([a,b]) est un intervalle fermé.

[invite4b03bb8f]

Merci gg0 pour la réponse. Mais est ce que tu le confonds pas avec le Théorème de Weirstrauss: L'image d'un compact par une fonction continue est compact.

NB: si ta réponse est bonne, merci de me donner la référence.

[PlaneteF]

Bonjour,

J'ai un petit soucis dans la question suivante:

Étant donnée une fonction continue f sur un intervalle [a,b] dans R.

Question : Est ce que f([a,b]) est forcement un intervalle?

Merci par avance de vos réponses.

Bonjour,

En tapant "image d'un intervalle par une fonction continue" dans un moteur de recherche tu obtiens un milliard de pdf dont voici c-dessous le premier de la liste :

http://leahpar.etnalag.free.fr/image...intervalle.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b03bb8f]

Merci beaucoup PlaneteF.

[gg0]

Rabine,

su tu sais déjà que l'image d'un compact est compacte, et que tu connais le théorème des valeurs intermédiaires (traduction de la connexité), il te suffit de raisonner. Et ton titre semble dire que tu connais la connexité de l'image d'un connexe, non ?
Mais je trouve de connaître un "gros" théorème et de ne pas connaître le cas des fonctions numériques. C'est peut-être un effet de ton cursus, mais il y a un raté quelque part (d'autant que ce théorème sur les fonctions numériques continues est d'usage courant.

Cordialement.

[invite4b03bb8f]

Merci gg0.