Equation différentiel

[invite9c4bf030]

bonjour tt le monnnde ,
svp je veux une solution détailler de l’équation différentiel suivante s'il vous plait , pour que je puisse comprendre ;

y' = (2/x)*y + (x²)*e^x


merci d'avance ;
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[inviteaf1870ed]

Ton équation s'écrit, pour x différent de 0, xy'-2y=x³e^x

Tu résous d'abord l'équation sans second membre, puis tu cherches une solution particulière pour l'équation avec second membre. Pour cela, tu "intuites" qu'elle sera de la forme P(x)e^x où P est un polynôme de degré que je te laisse deviner, et tu trouves ce polynôme.

[invitecb480987]

Bonjour hinda7.
En premier je vous fait la méthode dans le cas général :

On a une équation différentielle du type ( si on ne l'a pas sous cette forme on s'y ramène ) : où a et b sont deux fonctions continues et définies sur un certain intervalle à préciser sur la copie. Notons cette équation (E).
On commence par résoudre l'équation homogène que l'on notera (E0) :
et l'on trouvera que les solutions de cette équation homogène sont les fonctions telles que : où est une primitive de la fonction de l'équation homogène.
Une fois obtenue cette solution de l'équation homogène, on cherchera une solution particulière de (E).
Pour faire cela il existe plein de façon possibles. Dans le cas habituel, il faut procéder par la méthode de variation de la constante mais moi je la fait de façon intuitive et la regroupe tout de suite dans une formule permettant de trouver la solution finale. Cette méthode m'a été apprise dans un livre de Prépa MPSI/PCSI.
On applique la formule : . Le symbole de l'intégrale traduit une opération de primitive du fait de l'absence de bornes.
Et on trouve la solution finale de l'équation différentielle.

Je vais maintenant traiter avec la même méthode votre problème que je vous conseille de faire premièrement sans la solution qui va suivre :

On a l'équation différentielle suivante :
et l'équation homogène qui lui est associée :
En intégrant on obtiendra la solution de l'équation homogène :
On pourra maintenant passer à la formule générale permettant de trouver la solution finale d'une équation différentielle de 1er ordre avec second membre et avec coefficients variables.
Et j'obtiens : pour finalement trouver

J'espère que cela vous a bien aidé
Amicalement, SyTeK.

[invite9c4bf030]

merci innnnnfiniment SyTeK , vous m'avez vraiment beaucoup aider , merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb480987]

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