Espace paracompact

[Tiky]

Bonjour,

Je cherche à démontrer l'énoncé suivant : Soit un espace topologique paracompact et localement homéomorphe à un ouvert de . Alors est métrisable.

Je sais que de manière plus générale si est un espace topologique paracompact et localement métrisable alors est métrisable mais je ne connais pas la démonstration
de cet énoncé et je ne pense pas qu'elle soit simple.

Bref en revenant à l'énoncé initial, il est facile de construire une famille avec et un homéomorphisme
d'un ouvert de contenant et un ouvert de et de plus est un recouvrement localement fini de .

Les sont donc métrisables. Par exemple on peut prendre comme distance sur , avec la distance euclidienne sur .
Maintenant je ne vois pas comment définir une distance sur X qui donne la bonne topologie ? Une approche pourrait être de construire à partir des un homéomorphisme de X vers un espace métrique ?
-----

[Seirios]

Bonjour,

Si X est un espace topologique paracompact localement métrisable avec un recouvrement par des ouverts métrisables localement fini (on note la distance sur ), alors me semble être une distance compatible avec la topologie.

[Tiky]

J'y étais presque XD, je savais qu'il fallait faire une somme mais je n'arrivais pas à m'en sortir dans le cas où les deux éléments n'étaient pas dans le même ouvert alors que c'était le plus facile... merci je vais vérifier que ça fonctionne bien .
En revanche pourquoi supposer que le recouvrement est dénombrable ? Ce n'est pas toujours le cas non ?

[Seirios]

Le recouvrement est effectivement a priori quelconque, c'est une faute de frappe.

[A voir en vidéo sur Futura]