Géometrie : Determination d'équation cartésienne de surface

[Mostyx]

Bonjour à tous,

Je viens ici pour vous exposer une question d'un ancien examen de géometrie que je ne parvient pas a résoudre :'(

Dans R³ muni d'une base orthonormée (e1,e2,e3) , determiner une équation cartésienne de la surface S consitutée par l'ensemble de toutes les droites s'appuyant à la fois sur les deux courbes :

Gamma1 :
{ x²+z²= 1
{ y= -1

Et
Gamma2 :
{ x²+z² = 1
{ y=1

et passant par un point de l'axe oz.

Voila , ma démarche est celle ci :

Poser : x=cos u , z= sin u pour gamma 1
x=cos v , z= sin v pour gamma 2 (u,v € [0,2pi]

Je peux donc décrire tout point de gamma 1 comme étant le point (cosu,-1,sinu) et tout point de gamma 2 comme étant le point (cosv,1,sinv)

Ensuite j'avais fait une droite de ces deux points :
x=cos u + alpha * (cos v - cos u)
y= -1 +alpha * (1-(-1)) alpha€R
z=sin u + alpha * (sin v - sin u )

Mais bon après j'essaye de liquider les sinus et cosinus pour obtenir une equation cartésienne mais je n'y arrive pas ...
(en mettant x²+z² me reste du cosu * cos v et du sin u*sin v )

Et puis je devrai exprimer la tengance de cette equation cartésienne avec la droite oz mais je ne vois pas comment faire non plus :/


Merci de votre aide
-----

[ericcc]

Si j'étais toi j'essaierai une méthode différente :
J'appelle A le point de la courbe C1, qui a pour coordonnées (cosu,-1,sinu); B le point de C2 (cosv,1,sinv) et C un point de l'axe Oz (0,0,a).
Pour que les 3 points soient alignés, il faut et il suffit que les vecteurs CA et CB soient alignés.

[Mostyx]

Vérifier que des vecteurs sont alignés ?
Comment ca? que les vecteurs directeurs sont égaux donc ?

[ericcc]

J'ai été un peu lâche dans mon vocabulaire...que les vecteurs CA et CB sont colinéaires est plus précis

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mostyx]

Je récapitule :
A = (cosu,-1,sinu); B = (cosv,1,sinv) ; C=(0,0,a)

CA = (cosu , -1 , sinu -a)
CB = (cosv , 1 , sinv -a)

Condition de colinéarité : p * CA = CB p €R

Soit (p*cosu , -p , p*(sinu -a ) ) = (cosv , 1 , sinv -a)

J'en tire 3 équations :

p*cosu = cos v                 <=> cosu = -cosv    <=>  cosu = -cosv       (1)
-p=1                          <=> p = -1              <=> p=-1                   (2)
p*(sinu -a) = sinv -a         <=> a-sinu=sinv-a   <=>   sinu= 2a - sinv   (3)

Je passe (1) et (3) au carré et je les somme , j'obtiens :
a = sin v
C'est donc la conditions de linéarité.

Et maintenant je suis perdu je me suis embrouillé dans toute l'histoire et je ne sais pas comment conclure

[Mostyx]

Okay , ca va je pense que j'ai retrouvé le cheminement

Je réecrit A et B en fonction des conditions obtenues.

A= (sqrt(1-a²),-1,a)
B= (-sqrt(1-a²),1,a)
C= (0,0,a)

Et la réponse final est obtenu en faisant un plan comprenant c'est 3 points , exact ?

[ericcc]

J'obtiens bien
cos u + cos v = 0
sin u + sin v = 2a
Mais je ne vois pas pourquoi tu en déduis a=sinv.

EN tous cas tu as maintenant des relations entre u, v et a. Si tu prends un point quelconque de ta droite (X,Y,Z) tu devrais trouver une équation plus facilement.

[Mostyx]

Oups oui c'était une erreur de ma part :/

[Mostyx]

Vous parlez bien de cette droite ci ? :
x=cos u + alpha * (cos v - cos u)
y= -1 +alpha * (1-(-1)) alpha€R
z=sin u + alpha * (sin v - sin u )


Si c'est bien le cas , j'utilise les relations trouvées plus haut en cos u sin u sin v cos v afin de liquider tout les cosinus/sinus et ensuite ayant une relation direct en y=f(alpha) je pourrais enlever les alpha restant

(Je l'ai fait sur une feuille a coté et ça marche nickel ! , si c'était bien sur de cette droite que vous parliez )

[ericcc]

En fait je t'ai induit en erreur hier. Si on fait un dessin, on voit que ta figure va comprendre au moins les deux cônes de sommet l'origine, et qui passent par les cercles C1 et C2, deux droites qui s'appuient sur les cercles C1 et C2, et qui passent par l'axe Oz

Partons de tes deux relations
cosu+cosv=0
sinu+sinv=2a

La première te donne u=v+pi ou u=pi-v (à 2pi près)
On réinjecte dans la seconde et on trouve :

a=0 ou
sinv=sinu=a

La première solution te donne les cônes, et je n'ai pas encore regardé la deuxième solution.

NB : une autre méthode aurait été d'utiliser un paramétrage rationne pour tes cercles x=t²/1+t² et z=1-t²/1+t². Je n'ai pas fait les calculs, mais c'est peut être plus simple.

[ericcc]

Je termine avec la deuxième solution. On sait que cosv=-cosu, et que sinu=sinv=a
Le point sur le premier cercle a donc pour coordonnées (+/- racine(1-a²);1;a), le point sur l'axe des z (0;0;a) et le point sur le deuxième cercle (-/+racine(1-a²);-1;a)
Les 3 points sont donc dans le plan d'équation z=a, et dans ce plan la droite a pour équation y*racine(1-a²)=x.
On en déduit l'équation cartésienne de notre deuxième surface : y²(1-z²)=x².
CQFD