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exercice sur une matrice




  1. #1
    saku-007

    exercice sur une matrice

    bonsoir ,

    J'ai le problème suivant à résoudre:


    On a une matrice A =
    3 1 1
    1 3 1
    1 1 3

    1. Montrer qu'il existe deux suites réelles (an) et (bn) telles que :
    quelque soit n dans |N,
    A^n = an * I3 + bn * A

    s'il vous plaît vous pouvez me montrer comment faire parce que je bloque

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    sylvainc2

    Re : exercice sur une matrice

    Voir la section 5.3.2 de http://c.caignaert.free.fr/chapitre4/node5.html

    Il faut utiliser un polynôme annulateur de A. Commence par trouver le polynôme caractéristique, puis le polynôme minimal (car c'est celui-là qu'il faut utiliser).

  4. #3
    mzaradzki

    Re : exercice sur une matrice

    Remarque que A^n+1 = A^n * A
    Si c'est vrai jusqu'au rang n>=2 alors;

    A^n+1 = an I3 * A + bn A A = an A +bn A^2 = an A + bn (a2 I3 + b2 A) = bn.a2.I3 + (an+bn.b2).A

    Reste donc a vérifier que c'est vrai pour n=2 ce qui ne demande qu'un tout petit peu de calcul


  5. #4
    saku-007

    Re : exercice sur une matrice

    Merci mais votre lien est invalide

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