Calcul matriciel

[invitee732fdc2]

Bonjour à tous,

j'ai un problème avec les matrices j'ai un exo que je n'arrive pas à comprendre.

1 ) voici une matrice Aⁿ 1 0
.............................. 0 -(1/2)ⁿ
calculer A¹ et A²

2 ) soit les matricesB= 1 1 et C = (2/3) (1/3)
.............................. ..1 -2......(1/3) (-1/3)
calculer B*C et C*B

3 ) on pose d = (1/2) (1/2)
..........................1 .... 0
montrer que B*A*C =D en deduire l expression Dⁿ

Voici ce que je comprend :

1 ) je n'arrive pas a effectuer le calcul la seule formule dans mon cours pour les puissances de matrice est Aⁿ⁺¹=Aⁿ*A
Pouvez vous m'expliquer comment faire ce calcul

2) la si je prend la formule du cours B*C= 1*(2/3)+1*(1/3)+1*(1/3)+ -2*(-1/3) mais alors c'est le meme calcul pour C*B ?

3 ) ?

Je rame un peu avec le cours de math du CNAM donc merci par avance pour votre aide.
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[invitecb480987]

Bonjour dalek06,
Dans la première question il faut chercher un peu sur la parité de la puissance : en effet dans : ;
il faut que vous remarquiez que : où et que où . Cela se remarque en faisant successivement le produit de ta matrice de départ par elle même. Déduction : le signe - devant le 1/2 dépends de la parité de la puissance à laquelle la matrice est élevée. Cela règle le problème pour connaître les matrices de puissance 1 et 2 vu que dans les deux cas vous n'aurez qu'a remplacer le nombre que vous souhaitez dans n. Ainsi ( en faisant une rédaction bien meilleure que la mienne je l'espère ) vous obtenez les matrices : et ; voilà
La deuxième question est un calcul pur et dur d'un produit de matrices ; je vous rappelle la définition et vous donne simplement les réponses; à vous de le faire et de vérifier vos résultats obtenus avec les miens : Dans une matrice quelconque, ici de rang 2, on aura : et une autre similaire à la première : ; on aura : .
Cela étant fait, je tiens à préciser que la méthode reste la même pour les matrices carrées de rang plus élevé, il y a juste le nombre de lettres de la définition qui change. Attention, les matrices doivent être carrées. ( Bon bref le reste est dans votre cours ). Pour les exercices : qui est la matrice Identité de rang 2 et On en déduit que le produit est Commutatif !
Pour la troisième question, idem et c'est encore plus simple vu qu'ils ne demandent qu'a vérifier... : se trouve en premier en faisant le produit matriciel AC puis en faisant le produit matriciel B(AC) où (AC) est ma matrice obtenue à l'étape d'avant.
La déduction de D élevé à la puissance n est intuitive si l'on suit leur raisonnement. En effet : et . Essayons maintenant de voir si on peut calculer D au carré avec leur méthode : . Remarquez que cet exercice nous montre les petites astuces des matrices
Eh bien ! voilà qui est parfait ! Ainsi pour calculer D puissance n on fera de leur méthode : . Eh ben en voilà une matrice pour le moins étrange
Voilà, j'espère vous avoir aidé. Si quelque chose ne vas pas au niveau de la compréhension ou si jamais j'ai fait une faute de calcul ( ça arrive ) prévenez moi, je rectifierais
Amicalement SyTeK.

[invitecb480987]

Je voulais ajouter un complément. J'ai vérifié la méthode avec la matrice : BAC et j'affirme que la matrice C est l'inverse de la matrice B. Par conséquent il s'agit donc d'un changement de base ! En quelque sorte on a exprimé les vecteurs u=(1,1) et v=(1,-2) dans une autre base permettant de trouver les vecteurs de D

[invitee732fdc2]

Merci SyTeK pour votre réponse !

c'est beaucoup plus clair pour moi maintenant, j'ai encore un peu de mal avec les matrices aussi je vais profiter des éléments que vous m'avez donnée pour refaire tous les calculs de mon exo histoire de m'entrainer un peu avant les exams.

[A voir en vidéo sur Futura]