Fonction dérivable partout, C1 nulle part

[invite19e8378e]

Bonjour à tous.

Après avoir vu des monstres mathématiques comme des fonctions continues en un unique point ou des fonctions continues partout et dérivables nulle part, je me suis demandé s'il existe des fonctions dérivables partout, mais continûment dérivable (ie: de classe ) nulle part ?

Les fonctions dérivables mais pas sont déjà vraiment bizarres : la discontinuité de leur dérivée ne peut-être une simple "cassure" (dans le cas de , la dérivée oscille "de plus en plus vite" au voisinage de zéro et n'y est pas continue).
Donc si une fonction dérivable partout mais nulle part existe, sa dérivée présenterait (par exemple) de telles oscillations... en tout points !!!
C'est pourquoi je pense que ce n'est pas possible (même si mon explication est très loin d'une preuve), mais les mathématiques semblent parfois si bizarres...

Je m'en remet donc à vous pour éclairer ma lanterne

D'avance, merci
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[invite76543456789]

Salut!
Non ce n'est pas possible, cela resulte essentiellement du lemme de Baire, je griffonerais une preuve de ce truc la quand j'aurai un moment si tu veux (mais je pense que tu pourras trouver la preuve ailleurs sinon, c'est assez classique).

[invite19e8378e]

Merci d'avoir répondu si vite.

J'ai regardé vite fait le lemme de Baire et j'avoue ne pas avoir très bien cerné le rapport avec mon problème...
Pourrais-tu y apporter quelques éclaircissements ?

PS : prends ton temps, il n'y aucun souci

[invite76543456789]

Re!
J'avais tapé un joli truc puis j'ai voulu linké le lien wiki sur le lemme de Baire, et je me suis apercu que la démonstration que tu cherchais était sur wiki, donné en application du lemme de Baire, ici, en plus plus détaillée que ma mouture personelle.
Je te laisse donc lire la preuve.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite19e8378e]

Merci !
Je n'avais pas vu ce lien , mais ça répond bien à ma question !!

Cependant, existe-t-il des fonctions dérivables sur , mais uniquement sur ? (pas taper !!! )

[invite76543456789]

Non, c'est pas possible, on vient de voir que le lieu de continuité d'une dérivée est toujours un G-delta, mais Q est un F-sigma, donc les irrationnels sont un G_delta, dense, donc si l'on regarde l'intersection deux a deux des familles d'ouverts denses qui definissant Q et Q^c en tant que Gdeltas, alors on a une intersection dénombrable d'ouverts denses... vide, mais ca c'est pas possible par le lemme de Baire.

[invite19e8378e]

Donc si je comprends bien, une fonction dérivable partout ne peut pas être seulement sur car n'est pas une intersection dénombrable d'ouverts, c'est bien ça ?

Et donc, le lemme de Baire n'interdit pas, en revanche, à une fonction d'être dérivable sur , et uniquement sur (qui est une intersection dénombrable d'ouverts), me trompe-je ?