Bijection de R continue nulle part dérivable

[invité576543]

Bonjour,

Je cherche s'il existe des fonctions continues monotones de R dans R, avec comme image R (des autohoméomorphisme de R) nulle part dérivable, ou au minimum dont l'ensemble des points de non dérivabilité est dense dans R.

Dans le livret des contre-exemples, le message #2 n'indique pas, et le .pdf indiqué non plus, de tel cas.

Auriez-vous un exemple?

(Je m'étais dit que la fonction suivant marchait:

Soit la fonction de R dans R

si x=p/q, p et q entiers, p et q premiers entre eux --> 1/q³

sinon --> 0

Si cette fonction est intégrable, alors on obtientrait une bijection aux propriétés demandées (en prenant la fonction impaire dont la partie pour x>0 est l'intégrale de 0 à x de la fonction ci-dessus).

Après avoir lu le .pdf, j'imagine que c'est n'importe quoi, parce qu'aucune des fonctions proposées n'est construite comme cela.)

Cordialement,
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[invitec317278e]

Si la fonction que tu proposes admettait une primitive, la primitive serait continue et dérivable, et donc, par le théorème de Darboux, l'image de [0,1] de ta fonction serait un intervalle, ce qui n'est pas le cas, je suppose donc que ça ne convient pas.

Comme fonction continue non dérivable, il y a la "fonction de bolzano", mais elle ne répond pas aux autres exigences...on doit pouvoir néanmoins l'arranger

[invite93e0873f]

Salut,

Je ne sais pas si j'ai bien compris quelle est la fonction qu'on veut vérifier si elle est continue et nulle part dérivable tout en étant bijective.

Si c'est la fonction qui vaut 1/q³ pour x rationnel et 0 sinon, alors il me semble que cette fonction n'est déjà pas bijective puisqu'il existe généralement plus d'un rationnel de la forme p/q pour un même q et donc f^-1(1/q³) n'est pas unique.

Sinon, s'il s'agit de la primitive de cette fonction, alors par construction n'aurait-on pas que la primitive est dérivable?

[invité576543]

Si la fonction que tu proposes admettait une primitive, la primitive serait continue et dérivable

Je pensais intégrable au sens des distributions : la "fonction" que j'indique est une distribution, avec en chaque rationnel un dirac de poids 1/q³.

Dans le cas des distribution, la "primitive" n'est pas n'est pas nécessairement continue et dérivable. (Exemple la fonction de Heaviside, sont la "dérivée" est la fonction de Dirac.)

[/QUOTE]Comme fonction continue non dérivable, il y a la "fonction de bolzano", mais elle ne répond pas aux autres exigences...on doit pouvoir néanmoins l'arranger[/QUOTE]

J'ai effectivement l'impression qu'à partir de certaines des fonctions dans le .pdf on puisse "arranger" une fonction croissante. Il en suffirait d'une qui soit croissante sur un intervalle en fait. Mais je n'ai pas réussi à trouver une information ferme dans ce sens.

Je n'ai pas l'impression qu'il existe un intervalle sur lequel la fonction de Bolzano soit monotone ??

J'ai repéré la fonction de van der Waerden, qui semble croissante sur l'intervalle [0, 1/2], mais je n'en suis pas sûr ???

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Sinon, s'il s'agit de la primitive de cette fonction, alors par construction n'aurait-on pas que la primitive est dérivable?

Réponse dans le message précédent.

(En fait je me suis planté dans la description, je viens de relire. Ce que j'avais en tête est une somme de dirac. La fonction que j'ai décrite, si intégrable, donne bien une primitive dérivable.)

Cordialement,

[invité576543]

Je réécris :

un candidat serait la fonction (ici définit seulement sur R+), si cela a un sens :



avec q(t) l'entier q tel que t=p/q, q>0, p et q premiers entre eux.

Cordialement,

[invité576543]

Bon, ma tentative est n'importe quoi, la fonction n'est pas continue sur les points rationnels, par construction même...

Mais ma question reste : quelqu'un connaît-il une bijection de R continue nulle part dérivable?

Cordialement,

[Médiat]

Une suggestion (je n'ai pas vérifié la dérivabilité), donc sans garantie :
Soit la fonction f₀de [0; 1] dans [0; 1] définie par f₀(x) = x ;
puis on construit une suite de fonctions affines par intervalle de la façon suivante :

On suppose f_n définie sur les intervalles [a_nⁱ ; a_nⁱ⁺¹], et on définit f_n+1 de la façon suivante en coupant chaque intervalle en 2 :

f_n+1(a_nⁱ) = f_n(a_nⁱ)

f_n+1(a_nⁱ⁺¹ = f_n(a_nⁱ⁺¹)

f_n+1((a_nⁱ+a_nⁱ⁺¹)/2) = (f_n((a_nⁱ+a_nⁱ⁺¹)/2 ) + f(a_nⁱ⁺¹))/2

La construction assure que la fonction limite est continue et croissante donc bijective.
Pour la non dérivabilité aux points d'abscisse dyadique (ensemble dense), c'est pas gagné, mais si cela ne marche pas on devrait pouvoir couper les intervalles en 3 et s'assurer en jouant sur les deux valeurs intermédiaires que la fonction limite est non dérivable sur les triadiques (en limitant la dérivée à gauche et à droite à des valeurs différentes).

En tout état de cause, il me semble que chercher à résoudre ce point de [0; 1] dans [0; 1] devrait être plus facile puis on l'étend à IR dans IR (quitte à abandonner les points 0 et 1, mais ils sont bien pratiques pour les définitions)

[invité576543]

Merci, et noté. Je vais y réfléchir

Cordialement,

[invite57a1e779]

Il me semble qu'un théorème de Lebesgue assure que « toute fonction monotone, définie sur un segment [a,b], admet presque partout sur ce segment une dérivée finie ».

[invité576543]

Il me semble qu'un théorème de Lebesgue assure que « toute fonction monotone, définie sur un segment [a,b], admet presque partout sur ce segment une dérivée finie ».

Dans ce cas, cela élimine le "nulle part dérivable". Mais cela n'empêche pas les cas où les points de non dérivabilité sont denses dans l'intervalle. Me trompe-je?

Cordialement,

[Médiat]

Il me semble qu'un théorème de Lebesgue assure que « toute fonction monotone, définie sur un segment [a,b], admet presque partout sur ce segment une dérivée finie ».

Presque partout cela peut vouloir dire sur IR - ID (les dyadiques) or ID est dense dans IR, cela n'interdit donc pas que la question initiale ait une réponse.

[Croisement, je l'avais bien dit ]

[invite57a1e779]

Mais ma question reste : quelqu'un connaît-il une bijection de R continue nulle part dérivable?

Je voulais simplement éliminer cette possibilité.

En reprenant les idées proposées dès le départ, je considère une bijection de dans (ou tout autre dénombrable dense...)

Je définis paire telle que, pour , .
Il me semble que doit être une solution du problème.

[invité576543]

Merci, c'est joli!

Intuitivement, on voit comment ça marche. J'imagine qu'il doit falloir une belle démo pour être sûr, c'est pas à ma portée; mais cela me semble donner une bonne vraisemblance que la réponse à ma question est oui.

Cordialement,

[invite57a1e779]

Intuitivement, on voit comment ça marche. J'imagine qu'il doit falloir une belle démo pour être sûr

Et c'est là où le bât blesse. Je me demande si ma fonction F n'est pas un peu trop souvent dérivable.

[invite7863222222222]

Presque partout cela peut vouloir dire sur IR - ID (les dyadiques) or ID est dense dans IR, cela n'interdit donc pas que la question initiale ait une réponse.

[Croisement, je l'avais bien dit ]

Bonsoir,

presque partout dérivable, signifie-t-il bien dérivable sur tout ensemble de mesure nulle ? Intuititvement, tout ensemble dénombrable ne serait-il pas de mesure nulle ?

[invite7863222222222]

Mon dernier message est faux, j'ai fait une mauvaise lecture de la définition de dérivable presque partout.

[invitea07f6506]

On peut construire des exemples d'homéomorphisme de dans non dériables sur un ensemble dénombrable dense via les processus de Lévy. Cette méthode ne donne pas d'exemples explicites, cependant.

L'idée : si je prend un processus de Lévy dont la mesure associée donnée par la décomposition de Lévy-Khintchine est infinie, alors ce processus est presque sûrement :
* càdlàg (donc mesurable) ;
* borné sur tout segment ;
* discontinu sur un ensemble dénombrable dense de .

On peut même choisir de tels processus de Lévy qui soient aussi positifs et croissants, par exemple le "processus Gamma" :

où est un mouvement brownien.

Il suffit alors de prendre un tel processus sur [0,1], éventuellement lui ajouter une constante pour le rendre strictement positif, puis intégrer. Du copier-coller suffit à obtenir un homéomorphisme de dans .

[invite6754323456711]

Je cherche s'il existe des fonctions continues monotones de R dans R, avec comme image R (des autohoméomorphisme de R) nulle part dérivable, ou au minimum dont l'ensemble des points de non dérivabilité est dense dans R.

Cela conduirait-il à la notion de courbe sans tangente ?

Patrick

[invite7863222222222]

Cela conduirait-il à la notion de courbe sans tangente ?

Patrick

Certaines courbes seulement, représentant des fonctions monotones (sinon voir par exemple la courbe du blanc-manger).

[invité576543]

Cela conduirait-il à la notion de courbe sans tangente ?

Cela conduit à la question en physique: soit g une telle bijection (i.e., non dérivable sur un ensemble dense). Soit t une coordonnée temporelle. Comment choisit-on entre t et g(t)? Pourquoi prendre l'un plutôt que l'autre comme coordonnée temporelle?

Cordialement,