suites de fonctions-convergence uniforme

[invite2426c1d0]

Bonjour, j'ai un problème avec la convergence une suite de fonctions qui est : fn(x)=(n^2*x*exp(-n*x))
Les théorèmes disent qu'une suite fn est uniformément convergente si à partir d'un certain rang N, pour tout x et n>N, (fn-f)<E
Pour moi c'est le cas ici vu que fn->0 quand n->infini quelque soit x, car l'exponentielles croit plus vite que toute puissance...
Mais le problème c'est que dans les livres et mon cours on parle de convergence simple sur ]0;1], et je ne vois pas du tout pourquoi!!
Merci de m'aider un peu
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[sailx]

salut.
Alors, en faite, il faut bien distinguer la convergence uniforme et la convergence simple.

Pour la convergence simple, il faut fixer x et regarder ou tend fn(x) lorsque n->infini
On regarde en chaque point ou çà va tendre.

Pour la convergence uniforme, c'est un peu plus abstrait : il faut majorer fn-f par quelque chose qui ne dépende pas de x.
La CVU est plus une convergence de toute la suite de fonction. pas juste en 1 point

[invite2426c1d0]

Ok je suis d'accord, la convergence est simple, mais je me demandais dans le cas de cette fonction qu'est ce qui permet de dire que la convergence n'est pas uniforme sur ]0;1]? et l'est-t-elle sur ]0;+infini[? Merci

[sailx]

bon, alors, la convergence simple vers f=0 sur R+ c'est ok ?
ensuite, pour la convergence simple, il faut étudier |fn-f|
comme fn est gentille (elle est dérivable) on peut appliquer l'artillerie : on regarde la dérivé de |fn-f|, et on trace le tableau de variations.
Ensuite, suivant l'intervalle ou tu te place tu choisi un majorant indépendant de x grâce à ce tableau de variation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2426c1d0]

Ok, j'ai un maximum en x=1/n, donc fn=n/e est le maximum de fn.
Donc fn divergente quand n->infini, elle n'est donc pas uniformément convergente car ne converge que pour certaine valeurs, c'est bien ça le raisonnement?
En fait l'exercice était formulé bizarrement et portait sur l'intervalle [0;1[, je pensais qu'il y avait une singularité à cet endroit là, c'est pour ça que je me suis embrouillé

[sailx]

hmmm
Pour montrer qu'il n'y à pas CVU, il faut souvent exhiber une suite xn tel que |fn(xn)-f(xn)| ne tende pas vers 0
donc, ici, la suite fn(1/n) convient.

Mais pense aussi à regarder si ta suite ne cvu sur des intervalles plus petit que R+ ici (regarde par exemple sur[a,infini[ avec a>0)

[invite2426c1d0]

Dans cet exo on dit qu'il n'y a pas convergence uniforme sur ]0;1], sans expliquer pourquoi, c'est en fait ça que je voulais savoir.

[sailx]

et bien, pour montrer qu'il n'y à pas convergence sur ]0,1]
choisissez une suite convenable xn d'élément de cet intervale telle que |fn(xn)-f(xn)| ne tende pas vers 0