Non continue et dérivable ?

[invite463c11e4]

Bonjour à tous,

question que je me pose, existe-t-il des fonctions non continues en un point, mais dérivable en celui-ci (les fonction pouvant être composées de manière différente selon les intervalles de R) ?

Merci.
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[VegeTal]

Oui.

tout simple :

quand

et quand

alors f n'est pas continue en 0 mais dérivable en 0.

[invite463c11e4]

f n'est pas dérivable à gauche en 0 ...

[invité576543]

annulé... faux...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite463c11e4]

Bon bah annulé de même alors ^^

[invité576543]

f n'est pas dérivable à gauche en 0 ...

Bien vu.

Et si on regarde pourquoi, alors dérivable en un point implique continue en ce point, non?

Cordialement,

Bon bah annulé de même alors ^^

Ca va vite, là...

[invite463c11e4]

alors dérivable en un point implique continue en ce point, non?

C'est tout bête finalement ... Ma question n'a pas de réponse, car si je montre qu'une fonction est dérivable, elle sera forcément continue, d'où contradiction avec le point de départ ...

Je pensais que les maths m'auraient réservé quelques petits trucs tordus pour me tirer d'affaire.

Dommage

[VegeTal]

f n'est pas dérivable à gauche en 0 ...

et pourquoi donc ?

[invite463c11e4]

[VegeTal]

[invite463c11e4]

quand

f(0)=0

Donc d'après toi x²=x²+1 ?

[VegeTal]

je plussoie :




...

c'est plutôt toi qui considère que

[invite463c11e4]

Et ça veut faire le CG ...

(regarde bien comment tu as défini ta fonction avant de te rendre ridicule)

[VegeTal]

oui mais on parle de la dérivé en (à gauche).

c'est comme pour la fonction certes elle n'est pas définie, ni dérivable en 0, mais en 0^{+} ou 0^{-} oui.

[invite463c11e4]

La fonction n'est pas pour autant dérivable en 0,

f' à droite est différent de f' à gauche.

[invité576543]

Non. La définition que tu as donnée dans le message #2 indique sans ambiguïté que f(0)=0

Cordialement,

[invite463c11e4]

C'est bien ce que je pensais.

Pour calculer f(0) tu dois utiliser

quand

[invité576543]

c'est comme pour la fonction certes elle n'est pas définie, ni dérivable en 0, mais en 0^{+} ou 0^{-} oui.

Pardon???? Et elle vaudrait quoi en "0^{+}" ????

Cordialement,

[VegeTal]

0+ pour dire que x peux prendre des valeurs aussi proches de 0 que l'on veut.

je ne choque personne ?

[invité576543]

0+ pour dire que x peux prendre des valeurs aussi proches de 0 que l'on veut.

je ne choque personne ?

C'est ta notation qui est "non usuelle". 0⁺ peut être compris comme la limite quand x tend vers 0 par la droite, surtout écrit "en 0⁺". Pour parler des négatifs, ]-infini, 0[ est plus usuel que 0^-.

Cordialement,

[invite44d70ebf]

Salut à tous,
Mon prof de maths m'a dit qu'une fonction doit être définie en un élément pour être continue et qu'elle doit être continue pour être dérivable. Que doit -on retenir à la fin de votre débat parce que je m'y perds.
Cordialement,

[invité576543]

Salut à tous,
Mon prof de maths m'a dit qu'une fonction doit être définie en un élément pour être continue et qu'elle doit être continue pour être dérivable. Que doit -on retenir à la fin de votre débat parce que je m'y perds.

Que ton prof de maths a raison

(Ce qui est toujours la bonne hypothèse jusqu'à preuve très très solide du contraire.)

Cordialement,

[prgasp77]

Bonjour à tous.
J'ai en effet lu partout que l'existence de la dérivée en un point impliquait la continuité en ce point. Pourtant si je définie la fonction :



Alors,


La limite de la dérivée à droite vaut celle de la dérivée à gauche, on pourrait conclure que bien que ne soit pas continue en 0 ... Mais c'est faux : ce n'est qu'un prolongement par continuité de ma fonction . Pour s'en assurer, il convient de revenir à la définition de la limite et de la dérivée, et ça comme dirait mon prof préféré, c'est LAL.

[invité576543]

Ton exemple est bien compliqué. Il n'est pas différent dans le fond de celui du message #2, la similarité étant claire si on remplace sin(x)/x dans ton exemple par le début de son développement en 0, 1-x²/6. Près de 0, ça revient au même, tu obtiens la même propriété avec





Cordialement,

[Thorin]

Soit une fonction définie sur , soit appartenant à , alors, si est dérivable en , elle est continue en .

Preuve :
soit la fonction telle que .
On prolonge par continuité en [tex]a via :

alors,
Par théorème de passage à la limite, on a clairement que est continue en .

[prgasp77]

Ton exemple est bien compliqué. Il n'est pas différent dans le fond de celui du message #2, la similarité étant claire si on remplace sin(x)/x dans ton exemple par le début de son développement en 0, 1-x²/6.

Oui, tout à fait, ou bien même x²+1 pour x<0 ... En revanche, ça n'est pas similaire au message #2, dans son exemple VegeTal choisi une fonction dont la dérivée n'a pas même limite à droite et à gauche du 0.

Belle démonstration Thorin

[invitea3edf3aa]

bonsoir
Je cite Goursat, dans son cours d'analyse mathématique :
" Toute fonction qui admet une dérivée est nécessairement
continue , mais la réciproque n'est pas vraie."
Goursat cite y = xsin(1/x) pour x= 0