Fonction dérivable

[invitebacf5408]

Bonjour a tous !
L'heure est grave mes amis..., je n'arrive pas a résoudre un exo de maths lol, non plus serieusement je bloque sur un exercice assez complex a mon gout !
L'enoncer c'est :
Soit f une fonction dérivable sur R et vérifiant : f(0)=1 et f'(x)=k.f (k différent de 0)

2) Soit a un réel fixé. On considère la fonction g(x)= f(x+a).f(-x).

a) montrer que g est dérivable sur R et prouver que g'(x)=0 pour tout x de R.

b) calculer g(0). En déduire que, pour tout x et a réels : f(x+a).f(-x)= f(a) .

3) Déduire de l'égalité précédente les résultats suivants :

a) pour tout réel x, f(x).f(-x) = 1 (bien choisir a…)

b) f ne s'annule pas sur R (à démontrer par l'absurde…)

c) pour tout x et a réels : f(x+a) = f(x).f(a) (à l'aide du a) et b) )

4) On suppose ici qu'il existe 2 fonctions f1 et f2, dérivables sur R et vérifiant :

f1(0)=f2(0)=1 ; f1'= k.f1 et f2'=kf2 (k,différent de 0)

a) soit Y(x)= f1(x). f2(-x) Montrer que Y est dérivable sur R , et calculer Y'(x)

b) En déduire que, pour tout réel x, Y(x)=1 .

c) A l'aide du résultat de la question 3)a) , conclure que f1= f2.

Donc voila c'etais la bête lol, avez-vous une solution pour me guider ?
Merciiii d'avance !
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[invite5150dbce]

2) Soit a un réel fixé. On considère la fonction g(x)= f(x+a).f(-x).

a) montrer que g est dérivable sur R et prouver que g'(x)=0 pour tout x de R.
[/QUOTE]

Utilise les propriétés suivantes :
(uv)'=u'v+v'u
(uov)'=u'ov*v'

g'(x)=f'(x+a)f(-x)+f(x+a)f'(-x)
g'(x)=kf(x+a)*[(x+a)]'*f(-x)+f(x+a)*kf(-x)*[-x]'
g'(x)=kf(x+a)*f(-x)-f(x+a)*kf(-x)
g'(x)=0

[invite5150dbce]

b/ on te demande juste d'exprimer g(0) avec g(x)= f(x+a).f(-x).
Tu sais aussi que f(0)=1

Montre que l'ensemble des primitives de g'(x) pour tout x est une constante.
Que peux-tu dire de g(x) et g(0)
Conclues

[inviteb806dba5]

;bonjour

Un conseil serait de regarder ds ton bouquin de math car ton exercice est une introduction au fonction exponentielle.Et la méthode à suivre peut figurer dans ton manuel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5150dbce]

3/a/remplaces a par 0
b/On suppose que f s'annule en a avec a appartenant à R
On a donc f(a)=0
Or pour tout x appartenant à R, on a f(x).f(-x) = 1
D'où f(a)f(-a)=1
<==>0f(-a)=1
Ce qui est absurde

[invite5150dbce]

c/f(x+a).f(-x)= f(a)
f(x).f(-x) = 1
f(x) différent de 0
facile non ?

bonne chance pour la suite

[invitebacf5408]

Dans un premier temps merçi pour votre aide ^^
Donc pour la 2b :
On remplace x par 0, donc sa fais : g(0)= f(0+a).f(0). => g(0)=a ?? ( sa me fais bizard d'ecrire sa ... )

3/a/remplaces a par 0 : donc : f(0) = 1 ??
J'ai pas tres bien compri ton raisonnement pour la 3c je voix a peut pres, mais c'est pas clair a 100%. Le f(x+a).f(-x)= f(a) => f(x).f(-x) = 1, en gros le a s' enleve parceque f(a) = 0?
Merci de ton aide !

[invite5150dbce]

Dans un premier temps merçi pour votre aide ^^
Donc pour la 2b :
On remplace x par 0, donc sa fais : g(0)= f(0+a).f(0). => g(0)=a ??

non
tu peux montrer que pour tout x appartenant à R, g(x)=k avec k appartenant à R
D'où g(0)=g(x)
Tu sais que g(x)= f(x+a).f(-x)
Donc g(0)=f(0+a).f(-0) et comme f(0)=1, g(0)=f(a)
Or comme g(0)=g(x), alors f(x+a).f(-x)=f(a)

[invite5150dbce]

3/a/remplaces a par 0 : donc : f(0) = 1 ??

f(x+a).f(-x)= f(a)
f(x+0).f(-x)= f(0)
f(x).f(-x)= 1

[invite5150dbce]

J'ai pas tres bien compri ton raisonnement pour la 3c je voix a peut pres, mais c'est pas clair a 100%. Le f(x+a).f(-x)= f(a) => f(x).f(-x) = 1, en gros le a s' enleve parceque f(a) = 0? NON on vient de démontrer l'inverse attention
Merci de ton aide !

f(x+a).f(-x)= f(a)
Comme f(x).f(-x)=1 et que pour tout réel la fonction ne s'annule pas, on peut écrire :
f(-x)=1/f(x)
D'où f(x+a)/f(x)= f(a)
Et donc f(x+a) = f(x).f(a)

Petite question : Est-il normal qu'un 1èreS fasse les exercices d'un terminal ?

[invitebacf5408]

oui c'est bon j'ai compri, je passe a la question 4 maintenant ^^.

[invite5150dbce]

oui c'est bon j'ai compri, je passe a la question 4 maintenant ^^.

4/f1(0)=f2(0)=1 ; f1'= k.f1 et f2'=kf2 (k,différent de 0)

a) soit Y(x)= f1(x). f2(-x) Montrer que Y est dérivable sur R , et calculer Y'(x)

b) En déduire que, pour tout réel x, Y(x)=1 .

c) A l'aide du résultat de la question 3)a) , conclure que f1= f2.

a/Y'(x)=f1'(x).f2(-x)+f1(x)[f2(-x)]'
Y'(x)=kf1(x).f2(-x)-kf1(x)f2(-x)
Y'(x)=0

b/Y'(x)=0 ==> Y(x)=r avec r constante
Par conséquant on a Y(x)=Y(0)
Or Y(0)=f1(0). f2(-0)=1*1=1
Par conséquant Y(x)=1