fonction dérivable

[invite924e7419]

Bonjour à tous voila j'ai un dm de maths à rendre pour mardi et je bloque sur un exercice voila l'énoncé :
Soit une fonction dérivable sur un intervalle I et m et M deux réels tels que pour tout x de I, m inférieur ou égal à f' inférieur ou égal à M.
Utiliser les deux fonctions g et h définies pou tout x de I par g(x)=f(x)-mx et h(x)=f(x)-Mx.
Pour montrer que si a et b sont deux réels tels de I tels que a<b alors:
m(b-a)inférieur ou égal àf(b)-f(a)inférieur ou égal àM(b-a). Quelle interprétation géométrique peut on donner de ce résultat ?.
Je pense qu'il faut calculer la dérivée de h et g c'est à dire g'(x)=f'(x)-m et h'(x)=f'(x)-M puis se servir de la première inégalité mais je ne vois pas comment, je pense également qu'il faut faire ressortir le taux d'accroissement mais là non plus je ne sais pas comment. Donc isi vous pouviez me donner un indice pour avancer je vous en serai très reconnaissant. Merci d'avance
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[invite7ffe9b6a]

Oui tu peux utiliser le theoreme des accroissements finis, ta fonction est dérivable sur [a;b], il existe donc un c dans ]a;b[,tels que



or tu sais que pour tout x de I, tu as .

Ceci étant valable quelque soit x dans I c'est valable en c. je te laisse terminer.

Le truc c'est que le theoreme des accroisement fini, je crois qu on le voit pas au lycée???

je cherche comment y parvenir avec les fonctions g et h. 2 min

[invite7ffe9b6a]

Donc en utilisant tes fonctions g et h, il faut effectivement dériver tes fonctions.

g'(x)=f'(x)-m

or,

donc

soit .

donc comme g'(x) est positive, g est croissante.
donc si
donc

on remplace g(b) et g(a) par leur expression en fonction de f.
et on a :


or ceci est positif car g est croissante et a<b.
d'où

et finalement,



utlise un raisonnement similaire sur h (sauf que h sera décroissante ) et déduits en l'autre partie de l'inégalité.

ps: oublie mon premier post qui est plus rapide mais utilise un résultat non connu en terminal