Mesure d'une courbe

[invite14cee04b]

Bonjour,
je voulais savoir s'il était possible de mesurer la longueur d'une courbe de fonction bien définie.
Par exemple il est très facile de mesurer la "courbe" d'une fonction affine, constante ou absolue sur un intervale en se rapportant à des propriétés de géométrie.
Mais qu'en est il des courbes (fonction carré, cube et leurs dérivées par exemple)
Merci d'avance pour votre aide

Blender82
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[Amanuensis]

J'imagine qu'il s'agit d'une portion de courbe vue dans le plan euclidien, avec (x, f(x)) les composantes dans une base orthonormée.

Dans le cas, l'élément de longueur est ds² = dx² + d(f(x))² = dx² (1 +f'(x)²)

D'où pour la longueur (avec les hypothèses indiquées) de la courbe entre le point x=a et le point x=b.

[invite14cee04b]

Merci de m'avoir répondu si rapidement.
Ma question suivante s'intitule : pourquoi ? (c'est tout bête mais ça fait avancer la science en général )
Commet en arrive-t'on à l'intégration ? Tout n'est pas clair, du moins je n'arrive pas à faire le lien direct.
Merci encore !

Blender82

[Amanuensis]

Une manière de le voir est d'approcher la courbe par une série de petits segments de droites, et de les réduire de plus en plus.

Pour un petit segment de droite vous avez dû le faire puisque vous parlez de fonctions affines ; je le rappelle quand même. On cherche la longueur de l'hypothénuse d'un triangle rectangle sachant qu'un côté a pour longueur et l'autre la variation de f(x) pendant l'intervalle, c'est à dire en première approximation On obtient donc , l'approximation de la longueur de la courbe, à partir de. La longueur de la courbe entre a et b est alors obtenue approximativement en sommant les longueurs des petits segments de droite, c'est à dire les , égal à

À la limite quand tend vers 0, c'est l'intégrale indiquée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite10ceed08]

Pour le voir graphiquement tu peux imaginer a l'échelle de chaque élément [x, x+dx] que ta fonction est affine et alors tu utilise pythagore;
les cotes orthogonaux sont; dx et dx*f'(x)
soit un hypotenus de; racine[ dx*dx + dx*dx*f'*f']=dx * racine[1+f'*f']

[invite14cee04b]

D'accord !
En gros c'est la même méthode que l'approche de la dérivée ou l'intégrale !
En fait c'est tout simple !
Cependant, on aurrait pu remplacer la racine du carré (au niveau de l'intégrale) par une valeur absolue, non ?
Merci encore pour vos explications claires et nettes

Blender82

[Médiat]

Cependant, on aurrait pu remplacer la racine du carré (au niveau de l'intégrale) par une valeur absolue, non ?

C'est le théorème de Pythagore qui est utilisé, donc, c'est bien la racine carré qu'il faut prendre.

[invite14cee04b]

En fait c'est l'intégration de
On rend alors la longueur infinitésimale et l'on en fait la somme !
C'est tout simple en fait !
Merci encore !

Blender82