Particularité à propos de l'écart entre les carrés des nombres entiers à partir de 1 ?

[invited5e1cb03]

Bonjour, voilà plus de deux ans que j'ai remarqué quelque chose à propos de l'écart entre les carrés des différents nombres entiers à partir de 1.

Après avoir tenté de trouver une trace de cela sur internet, SANS AUCUN SUCCÉS, je suis tombé sur ce site qui paraît-il regorge de personnes compétentes en la matière. Mon intention est en priorité de savoir si cela a déjà été relevé, sinon dans quelle mesure cela pourrait avoir de l'importance et surtout comment en parler entre guillemets "aux autorités compétentes".

J'ai donc remarqué que celui-ci augmente de 2 à chaque fois, en prenant en compte les nombres supérieurs ou égal à 1.

Exemple: Par mesure pratique afin d'établir une équation qui se tienne (je pense! lol!), je vais me baser sur la comparaison du chiffre 2 avec les chiffres 1 et 3, car si je prenais comme exemple 1, je répète que je ne pourrais pas le comparer avec 0, afin que ma démonstration soit complète.

Donc 2 au carré égal 4, si je le compare à 1 au carré égal 1, j'ai un ÉCART DE 3.
Maintenant, si je compare 2 au carré par rapport à celui de 3 qui est égal à 9, vous voyez bien que nous sommes passés à un écart de 5, soit les 3 précédents plus 2.

Autre exemple rapide: 13^2=169 et 14^2=196, donc je sais par avance que celui de 15 sera de: 196 + (196-169) + 2= 196 + (27 + 2) = 225.

Enfin si j'essaie de représenter tout ça alors j'écrirais:

Avec x>=2
(x+1)^2 - x^2 = (x^2 - (x - 1)^2) + 2

Soit 3^2 - 2^2 = (4 - 1^2) + 2
9 - 4 = (4 - 1) + 2
5 = 5 CQFD comme on dit je crois.

Donc voilà, je vous remercie par avance des éclaircissements que vous pourrez m'apporter. Je me connecterai de nouveau dans quelques jours.
Cordialement, CRICOS.
-----

[gg0]

Bonjour.

Excellente remarque ! Bien connue depuis l'antiquité sous la forme : la somme des premiers impairs est un carré.
On peut le voir ainsi : (x+1)²-x² = 2x+1 qui est impair.
Par exemple connaissant 16²=256, on en déduit 17²=256+2*16+1=289.

Continue à regarder comment les choses se passent. Même si tu ne trouve pas des théorèmes nouveaux (tu arrives après des millions d'autres !), tu apprendras à dfiare vraiment des maths.

Cordialement.

[invited5e1cb03]

Je commence à comprendre comment fonctionne le site, merci de votre ponctualité.
xxxxxxxx Attaque personnelle xxxxxxxxxxx
:rien que mon pseudo,j'ai fusionné cricri avec cos une certaine île natale d'un Pythagore et du fondateur du mouvement empirique Philonos!
Pour ce qui est de notre sujet,xxxxxxxxxx Ironie mal venue xxxxxxxxxxx,moi je suis dans le paramédical et je n'ai rien cherché du tout,c'est la chose qui m'a trouvé toute seule un jour d'été, c'est la différence avec les autres moi je trouve sans chercher!
Merci pour le coup de pouce, au revoir.

[inviteaf1870ed]

Bonsoir Cricos,

Il est vrai que gg0 est parfois "brut de fonderie", aussi je vais essayer de redire ce qu'il a dit avec peut être un peu plus d'enrobage, mais le fond sera le même :

Tu as du apprendre au Collège l'identité remarquable (x+1)²=x²+2x+1; on en déduit aisément (x+1)²-x²=2x+1, que tu trouves également. De là il est effectivement facile (évident diraient les matheux) de voir que si tu remplaces x par x+1, ta quantité 2x+1 augmente de 2, ce que tu as remarqué.

Pour passer de l'antiquité à la renaissance, je te pose la question : peux tu en déduire la formule pour la somme des nombres de 1 à n ? Peux tu trouver une méthode pour calculer celle des carrés de 1 à n ?

Enfin cette section du forum est réservée au Mathématiques du Supérieur, et ton problème, même s'il intrigue depuis l'Antiquité (et les Grecs qui n'auront bientôt plus que cela comme richesse ) relève plus du Lycée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour Cricos,

Merci de respecter un minimum les gens qui passent du temps pour vous rendre service.

Médiat, pour la modération

[gg0]

Désolé, Cricos,

si ma réponse ne t'a pas plu. Elle était honnête et sincère : Trouver seul une propriété mathématique est de la bonne mathématique. Même quand elle est ultra connue (mais pas assez importante pour être référencée sous la forme à laquelle tu es arrivé). Donc à aucun moment je ne me suis moqué de toi.
Par contre ta réaction est révélatrice : On reçoit très souvent sur les forums de maths des "découvertes", parfois justes, comme la tienne, le plus souvent fausses. Mais tous réagissent très mal à l'avis de personnes compétentes. Les grandes découvertes incomprises sont en fait très rares, et un peu d'humilité ne fait pas de mal.

Cordialement.

[invited68a324d]

Salut!

J'ai aussi "découvert" cette propriété; En voici une "démonstration" géomètrique:

e e e e e
d d d d e
c c c d e
b b c d e
a b c d e

Ici, carré de 5*5=5² qui peux se lire 1(le a) + 3 (les 3 b) + 5 (les 5 c) + 7 (7 d) + 9 (9 e)

Voilà! (en esperant que c'est clair)

[gg0]

Bien vu !

C'est d'ailleurs ainsi que les grecs anciens démontraient que la somme des premiers impairs est un carré.

Cordialement.

[inviteea028771]

Salut!

J'ai aussi "découvert" cette propriété; En voici une "démonstration" géomètrique:

Personnellement je trouve ce genre de "démonstrations" très belles.

En voici quelques unes (en anglais):
http://mathoverflow.net/questions/88...-without-words

[invited68a324d]

Très bon site!
Je trouve en particulier que la figure de la suite de Fibonacci est vraiment pas mal!
Soit dit en passant, je trouve cette suite super!!!
Il parait (je ne sais plus d'où je tiens cette info) que le nombre de pétales des fleurs est toujours un nombre de Fibonacci...! (si qq1 pouvait me le confirmer).
Ce qui relance 1 vieux débat: l'univers a-t'il été créé à partir des nombres? Ou ceux ci sont ils le pur fruit de l'esprit de l'homme?
Vive les maths!

[Médiat]

Bonjour,

Il parait (je ne sais plus d'où je tiens cette info) que le nombre de pétales des fleurs est toujours un nombre de Fibonacci...! (si qq1 pouvait me le confirmer).

Légende urbaine, il est facile de trouver sur le net des fleurs à 6, 7, 9 pétales (etc.)

[invited68a324d]

oups!
dommage, ça aurait pu être cool! :'(