Bord d'une Boule ouverte

[invite0731164c]

Bonjour,

L'exercice que je dois faire se fait en deux étapes:
2) Je dois d'abord montrer que et sont des ouverts.

2)Puis que

Pour le 2) il s'agit donc de montre que et

Pour le 1), j'ai compris comment faire. Par contre pour le 2, dans la correction il met just que découle de 1) sans arguments, et je ne vois pas trop pourquoi et comment le montrer.
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[invite0731164c]

Pardon, j'ai fais une erreur:

Il s'agit de montrer que et

[Seirios]

Bonjour,

Si tu prends x tel que ||x-a||<r, alors tu dois pouvoir montrer qu'il est dans l'intérieur de la boule ; si tu prends x tel que ||x-a||>r, alors tu dois pouvoir montrer qu'il est dans l'intérieur du complémentaire de la boule. Dans tous les cas, x ne pourra pas appartenir à la frontière de la boule. Il suffit ensuite de montrer que si ||x-a||=r, alors x est adhérent à la boule, et pour cela tu peux montrer que toute boule centrée en x coupe à la fois la boule et son complémentaire.

[invite0731164c]

Ah ouais.

Moi j'avais pensé faire un truc comme ça:
Supposons que qu'un point de appartienne à . Or, on a montré que B(a,r) est un ouvert donc pour tout tel que ceci implique qu'un point de n'appartient pas au bord de l'ensemble car par définition un point frontière z de 'ensemble E est tel que pour tout , et
Ensuite, on fait la même chose pour (on dit qu'un point du bord n'appartient pas à cet ensemble) et alors ça veut dire que

Est-ce correcte?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Le début de ta preuve est le même que celui de Seirios. Ensuite, tu seras obligé de faire deux preuves (ce que tu as écrit ne finit pas la question) alors qu'une seule suffit : Si tout point de l'hypersphère est un point frontière, comme il ne reste aucun autre point envisageable, on a trouvé la frontière.

Cordialement.

[invite0731164c]

Oui je sais.
La 2éme partie de la démo je sais comment la faire.
Ma question était juste comment montre la première inclusion à partir de la question 1).