Bonjour,
je dois montrer que le diametre d'une boule ouverte de rayon R de centre a est de 2R.
On peut écrire :
d(x,y)<ou= d(x,a)+d(a,y)< 2R, donc en gros je démontre le contraire car l'inégalité est vrai quelque soient x et y de la boule et donc par passage au sup (qui est atteint) le diamètre est < 2R..
Si quelqu'un peut me dire ou se trouve l'erreur dans mon raisonnement merci d'avance
Bonjour,
Si les boules sont ouvertes, la borne supérieure (dans l'expression du diamètre) ne sera pas atteinte.
If your method does not solve the problem, change the problem.
ok merci ^^, bonne soirée
Bonsoir.
Si c'est dans un espace métrique quelconque, c'est faux.je dois montrer que le diametre d'une boule ouverte de rayon R de centre a est de 2R.
Tout ce qu'on peut dire, c'est que le diamètre d'une boule ouvert de rayon R est inférieur à 2R, mais il peut très bien ne pas être égal à 2R.
Par exemple, si on munitde la distance discrète, le diamètre de la boule de centre 0 et de rayon 1 vaut 1.
en effet j'ai oublié de préciser que c'était dans un espace vectoriel normé, mais merci pour la précision j'y avais pas pensé
Ok, dans ce cas, c'est vrai.
Pour montrer l'inégalité dans l'autre sens, on remarque que le diamètre d'une partie d'un espace métrique est égal au diamètre de son adhérence.
Or, dans un espace normé, l'adhérence de la boule ouverte est la boule fermée, où le sup est clairement atteint.
(ou alors, on procède directement sur la boule ouverte, en montrant qu'on peut trouver des couples (x,y) dans la boule, dont la distance est arbitrairement proche de 2R, ce qui se fait en considérant des points diamétralement opposés, qui sont arbitrairement proches du bord)
