bonjour
je bloque sur un question de mon dm de maths et ca me rend un peu perplexe, voici la question:
soit u et v deux endo qui commutent
Montrer que tout vecteur propre de v est vecteur propre de u
je sais que je dois partir du fait que si x est un vecteur propre de v alors v(x)=ax et que je doit arriver a dire que u(x)=a'x mais je vois pas comment faire meme en faisant commuter les endomorphismes
merci beaucoup
Bonjour !
Le résultat que tu essai de montrer est faux.
prend v=Id, u et v commute quelque soit u, mais les vecteur propre de u sont pas forcement des vecteur propres de v...
Euh ... pour v=Id, tous les vecteurs sont propres nan ?Envoyé par Ksilver
... oui il fallait lire "les vecteurs propre de v ne sont pas toujours des vecteur propres de u" comme c'étais dit dans son énoncé...
le bon théorème c'est : si A et B sont diagonalisables et commutent, elles peuvent être diagonalisées dans la même base.
j'ai omis un petit detail en fait desolé
mais v=u^-1
mais dans ce cas c'est complètement trivial. Si ux=ax, a!=0 et si vux=uvx=x alors vx=a^-1x
tu es sûr de ton énoncé? parce que le premier énoncé était presque vrai.
la question dit precisement: on prend n quelconque et on se donne deux elements u et v de E qui commutent.on suppose que toutes les racines du polynome caracteristique de v sont simple ( dans les questions precedentes u et v etaient deux endo )
Montrer que tout vp de v est vp de u.que dire de u
un truc que je ne saisis pas vous me dites tous c'est faux car les vp de u ne sont pas forcement vp de v mais la question ne demande pas l'implication dans ce sens!!!
moi je comprend que si x est un vp de v alors s'en est un de u mais la reciproque n'est pas forcement vrai!!!???
C'est normal, dans ta première version, rien ne distinguait u de v, donc si la propriété était vraie dans un sens, elle était vraie dans l'autre (il suffit de renommer les endomorphismes).
oui alors si toutes les valeurs propres sont distinctes, si u et v sont diagonalisables et commutent, alors tout vecteur propre de l'un est vecteur propre de l'autre (le fait que les valeurs propres soient distinctes exclut le contre-exemple de Ksilver)
oui mais comment on le montre est ce quon peut utiliser la stabilité des sous espaces propres
ben si x est vecteur propre de u associé à la valeur propre a, tu écris ux=ax, puis tu appliques v aux deux membres: vux=avx. Puis tu intervertis u et v dans le membre de gauche : uvx = a vx ce qui montre que vx est vecteur propre de u pour la valeur propre a, or u a toutes ses valeurs propres distinctes, donc vx est proportionnel à x, soit vx =bx, cqfd.
