Automorphismes orthogonaux qui commutent

[invite3424b43e]

Bonjour à vous

J'ai un petit problème sur un exercice dans un espace euclidien de dimension 3, j'ai D droite et P plan, on note r le retournement autour de R et s la réflexion par rapport à P.

Je dois montrer que

Je ne vois même pas comment avancer...
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[invite4ef352d8]

Salut !

si tu sais que des endomorphisme qui comute sont co-diagonalisable, ca va beaucoup aider... sinon il va falloir utiliser des elements de preuve de ce résultat.

dans tous les cas, tu devrai voir comment commencer : tu cherche à montrer une equivalence, tu as donc deux implications à montrer ! et l'une des deux est très simple, ce qui me fait penser que si tu n'arrive à rien dire dessus c'est peut-etre que tu n'as pas encore essayer de dissocier les deux implications ^^

[invite3424b43e]

Je n'ai pas vu la propriété que tu as cité!

Oui j'ai dissocié en deux implications, mais à vrai dire je m'acharne pour l'instant que sur le sens direct, je n'ai pas regardé l'autre!

(ça doit être l'autre le sens facile ) dans ce cas j'essaye de faire celle ci

[invite3424b43e]

Voila ce que j'ai fait. D=vect(u).

J'ai fos(u)=s(u), mais f automorphisme orthogonale donc ||s(u)||=||u||.
Si s(u)=-u alors s est la réflexion par rapport à P={u}.
Si s(u)=u alors s est la réflexion par rapport à P et u est invariant par s donc D est incluse dans P.

Mais je trouve ça super pas rigoureux lol... Qu'en penses-tu ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

L'idée est la, mais pas besoin de norme a mon avis (et d'ailleurs dit comme ca ca ne suffit pas je pense), Par definition, r(D)=D et s(P)=P tout ca point par point. Or si tout ca commute si tout ca commute, tu as pour tout



d'ou

, donc , c'est ca qu'il falalit prouver. Donc D est fixé (pas forcement point par point) par s, ce qui implique le resultat.

[invite3424b43e]

D'accord oui je vois, mais du coup je n'ai démontré qu'une partie du résultat non, je n'ai pas démontré que D=P non ?

[invitebe0cd90e]

Bah si, parce que . C'est assez facile a voir, formellement ca revient a dire que les sous espaces propres de s sont P et .

[invite3424b43e]

Oui d'accord, merci beaucoup

[invitebe0cd90e]

De rien, et pour la reciproque, a la louche :

- soit en partant du fait qu'ils ont les memes espaces propres tu montres qu'il existe une base dans laquelle ils sont tous les deux diagonalisables, ce qui prouvent qu'ils commutent
- soit a la main, tu prends par exemple un orthogonal A de P, dans ce cas tout element de E s'ecrit de facon unique comme somme d'un element de A et d'un element de P, par linearité il suffit donc de prouver que les restrictions de et a A puis a P sont a chaque fois egales. Il suffit ensuite de sitniguer les deux cas, cad soit , soit .