boule roulant sur une autre boule plus grosse

[mc222]

Boujours à tous, je me suis demandé à partir de quel angle, une petite boule se décollerait de la surface d'une plus grosse en tombant.

J'ai d'abort exprimer l'accélération normale de la petite boule en fonction de l'angle balayé:



J'ai ensuite, avec un peu de trigonométrie, trouvé les égualités qui se posent à l'instant du décollement, et j'en arrive à ca:


On vois que g et R n'interviennent plus, c'est bizarre...

Ensuite, il ne doit exister qu'un seul angle qui verifie cette équation, un angle qu'on devrait retrouver tout le temps apparement!
Si cet angle existe comme je l'imagine, est-ce que ce serait un nombre transcendant, ou une autre barbarie mathématique dans le genre ?

Quel est la valeur de cet angle ?
merci, au revoir.
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[invitee0b658bd]

Bonjour,
je ne suis pas certain que tes equations soient correctes
fred

[invite21348749873]

Boujours à tous, je me suis demandé à partir de quel angle, une petite boule se décollerait de la surface d'une plus grosse en tombant.

J'ai d'abort exprimer l'accélération normale de la petite boule en fonction de l'angle balayé:



J'ai ensuite, avec un peu de trigonométrie, trouvé les égualités qui se posent à l'instant du décollement, et j'en arrive à ca:


On vois que g et R n'interviennent plus, c'est bizarre...

Ensuite, il ne doit exister qu'un seul angle qui verifie cette équation, un angle qu'on devrait retrouver tout le temps apparement!
Si cet angle existe comme je l'imagine, est-ce que ce serait un nombre transcendant, ou une autre barbarie mathématique dans le genre ?

Quel est la valeur de cet angle ?
merci, au revoir.

Bonjour
Si vous considerez que le petite boule glisse sans rouler sur la grande, vous pouvez calculer que l'angle de "décollement" est tel que: tg teta=4/3

[mc222]

salut, il est bien possible que ma formule soit en fausse, en effet, mais en tout les cas, ce qui m'interresse c'est que l'angle ne dépend de rien.

theta = Arctan(4/3) , ca alors, c'est étonnant, ca donne à peu pres, 53.13 degrés, voila la réponse que j'attendais, merci, je vais pouvoire démontrer cette expression maintenant (ca va etre chaud^^)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite62208deb]

Ce problème est d'énoncé très simple mais il est loin d'être trivial, sauf si on considère que la petite boule ne roule pas mais qu'elle glisse, mais à ce moment là le problème n'a plus aucun intérêt. Je te propose une résolution en utilisant le Lagrangien, une méthode qui fonctionne à tous les coups, ce qui est bien pratique pour ne pas se prendre la tête.
On va définir les axes (horizontal) et (vertical) d'un repère orthonormé centré au centre de la grosse boule. La petite boule de rayon fait un angle de rotation propre avec l'axe vertical et son centre de gravité se déplace sur un cercle de rayon en faisant un angle avec l'axe vertical. En d'autres termes, le rayon de la grosse boule est .
Le roulement sans glissement donne la condition
Le système est donc holonôme à 1 degré de liberté paramétré par
En considérant que le moment d'inertie de la boule est

on peut écrire l'énergie cinétique (attention: coordonnées polaires),

et l'énergie potentielle

Le Lagrangien est
L'équation d'Euler-Lagrange est

L'équation du mouvement est donc l'équation différentielle


Généralement dans le cas d'une équation non linéaire, on développe le potentiel autour de la position d'équilibre, mais comme on ne cherche pas de petites oscillations, il va falloir utiliser des ruses pour résoudre l'équation différentielle non linéaire : http://www.sosmath.com/diffeq/second...nlineareq.html
ou bien des méthodes numériques.

Lorsque la trajectoire est explicitée, la vitesse indique à quel instant la boule décolle: lorsque la composante verticale de l'accélération normale dépasse la pesanteur, càd lorsque tu as t, tu l'injecte dans et le tour est joué!

Si quelqu'un a une solution plus simple, je serais intéressé pour la voir.

[mc222]

lorsque la composante verticale de l'accélération normale dépasse la pesanteur, càd

Non je ne suis pas d'accord, pour un angle de 90 degré, la composante verticale de l'accélération normale est nulle, pourtant le décolement à eu lieu depuis longtemps.

[inviteaa0ade65]

Si quelqu'un a une solution plus simple, je serais intéressé pour la voir.

Voilà ce que je te propose.

Je garde les mêmes notations que les tiennes, à ceci près que j'appelle le rayon de la grosse boule, et celui de la petite.

Je rajoute la base des coordonnées polaires dont le centre est pris au centre de la grosse boule.

Je note également et les composantes normale et tangentielle de la réaction de la grosse boule sur la petite.

Le théroème de la résultante cinétique appliqué à la petite boule donne
en projection sur


en projection sur


On en déduit


La petite boule roulant sans glisser sur la grosse la réaction ne travaille pas et la petite boule constitue donc un système conservatif.

La conservation de l'énergie permet d'écrire



La condition de roulement sans glissement donne


En reportant dans la conservation de l'énegie il vient donc


Mais cette constante doit être connue, car l'angle de décollement dépend des conditions initiales. Il me semble qu'elles sont fixées implicitement ici à et .

On a alors
, d'où



On reporte dans l'expression de , soit



La condition de décollement est ici (si on suppose que la condition de roulement sans glissement est toujours vérifiée) l'annulation de .

On a donc l'angle de décollement tel que , soit presque 54°.

Voili-voilou

En espérant ne pas avoir fait de faute de frappe !

Cordialement