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boule roulant sur une autre boule plus grosse




  1. #1
    mc222

    boule roulant sur une autre boule plus grosse

    Boujours à tous, je me suis demandé à partir de quel angle, une petite boule se décollerait de la surface d'une plus grosse en tombant.

    J'ai d'abort exprimer l'accélération normale de la petite boule en fonction de l'angle balayé:



    J'ai ensuite, avec un peu de trigonométrie, trouvé les égualités qui se posent à l'instant du décollement, et j'en arrive à ca:


    On vois que g et R n'interviennent plus, c'est bizarre...

    Ensuite, il ne doit exister qu'un seul angle qui verifie cette équation, un angle qu'on devrait retrouver tout le temps apparement!
    Si cet angle existe comme je l'imagine, est-ce que ce serait un nombre transcendant, ou une autre barbarie mathématique dans le genre ?

    Quel est la valeur de cet angle ?
    merci, au revoir.

    -----


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  3. #2
    verdifre

    Re : boule roulant sur une autre boule plus grosse

    Bonjour,
    je ne suis pas certain que tes equations soient correctes
    fred
    On ne vient pas de nulle part et il serait souhaitable qu'on n'aille pas n'importe où !

  4. #3
    invite21348749873
    Invité

    Re : boule roulant sur une autre boule plus grosse

    Citation Envoyé par mc222 Voir le message
    Boujours à tous, je me suis demandé à partir de quel angle, une petite boule se décollerait de la surface d'une plus grosse en tombant.

    J'ai d'abort exprimer l'accélération normale de la petite boule en fonction de l'angle balayé:



    J'ai ensuite, avec un peu de trigonométrie, trouvé les égualités qui se posent à l'instant du décollement, et j'en arrive à ca:


    On vois que g et R n'interviennent plus, c'est bizarre...

    Ensuite, il ne doit exister qu'un seul angle qui verifie cette équation, un angle qu'on devrait retrouver tout le temps apparement!
    Si cet angle existe comme je l'imagine, est-ce que ce serait un nombre transcendant, ou une autre barbarie mathématique dans le genre ?

    Quel est la valeur de cet angle ?
    merci, au revoir.
    Bonjour
    Si vous considerez que le petite boule glisse sans rouler sur la grande, vous pouvez calculer que l'angle de "décollement" est tel que: tg teta=4/3


  5. #4
    mc222

    Re : boule roulant sur une autre boule plus grosse

    salut, il est bien possible que ma formule soit en fausse, en effet, mais en tout les cas, ce qui m'interresse c'est que l'angle ne dépend de rien.

    theta = Arctan(4/3) , ca alors, c'est étonnant, ca donne à peu pres, 53.13 degrés, voila la réponse que j'attendais, merci, je vais pouvoire démontrer cette expression maintenant (ca va etre chaud^^)

  6. #5
    Lukor

    Re : boule roulant sur une autre boule plus grosse

    Ce problème est d'énoncé très simple mais il est loin d'être trivial, sauf si on considère que la petite boule ne roule pas mais qu'elle glisse, mais à ce moment là le problème n'a plus aucun intérêt. Je te propose une résolution en utilisant le Lagrangien, une méthode qui fonctionne à tous les coups, ce qui est bien pratique pour ne pas se prendre la tête.
    On va définir les axes (horizontal) et (vertical) d'un repère orthonormé centré au centre de la grosse boule. La petite boule de rayon fait un angle de rotation propre avec l'axe vertical et son centre de gravité se déplace sur un cercle de rayon en faisant un angle avec l'axe vertical. En d'autres termes, le rayon de la grosse boule est .
    Le roulement sans glissement donne la condition
    Le système est donc holonôme à 1 degré de liberté paramétré par
    En considérant que le moment d'inertie de la boule est

    on peut écrire l'énergie cinétique (attention: coordonnées polaires),

    et l'énergie potentielle

    Le Lagrangien est
    L'équation d'Euler-Lagrange est

    L'équation du mouvement est donc l'équation différentielle


    Généralement dans le cas d'une équation non linéaire, on développe le potentiel autour de la position d'équilibre, mais comme on ne cherche pas de petites oscillations, il va falloir utiliser des ruses pour résoudre l'équation différentielle non linéaire : http://www.sosmath.com/diffeq/second...nlineareq.html
    ou bien des méthodes numériques.

    Lorsque la trajectoire est explicitée, la vitesse indique à quel instant la boule décolle: lorsque la composante verticale de l'accélération normale dépasse la pesanteur, càd lorsque tu as t, tu l'injecte dans et le tour est joué!

    Si quelqu'un a une solution plus simple, je serais intéressé pour la voir.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mc222

    Re : boule roulant sur une autre boule plus grosse

    Citation Envoyé par Lukor Voir le message

    lorsque la composante verticale de l'accélération normale dépasse la pesanteur, càd
    Non je ne suis pas d'accord, pour un angle de 90 degré, la composante verticale de l'accélération normale est nulle, pourtant le décolement à eu lieu depuis longtemps.

  9. #7
    cerfa

    Re : boule roulant sur une autre boule plus grosse

    Citation Envoyé par Lukor Voir le message
    Si quelqu'un a une solution plus simple, je serais intéressé pour la voir.
    Voilà ce que je te propose.

    Je garde les mêmes notations que les tiennes, à ceci près que j'appelle le rayon de la grosse boule, et celui de la petite.

    Je rajoute la base des coordonnées polaires dont le centre est pris au centre de la grosse boule.

    Je note également et les composantes normale et tangentielle de la réaction de la grosse boule sur la petite.

    Le théroème de la résultante cinétique appliqué à la petite boule donne
    en projection sur


    en projection sur


    On en déduit


    La petite boule roulant sans glisser sur la grosse la réaction ne travaille pas et la petite boule constitue donc un système conservatif.

    La conservation de l'énergie permet d'écrire



    La condition de roulement sans glissement donne


    En reportant dans la conservation de l'énegie il vient donc


    Mais cette constante doit être connue, car l'angle de décollement dépend des conditions initiales. Il me semble qu'elles sont fixées implicitement ici à et .

    On a alors
    , d'où



    On reporte dans l'expression de , soit



    La condition de décollement est ici (si on suppose que la condition de roulement sans glissement est toujours vérifiée) l'annulation de .

    On a donc l'angle de décollement tel que , soit presque 54°.

    Voili-voilou

    En espérant ne pas avoir fait de faute de frappe !

    Cordialement

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