Produit alterné de vecteurs

[invitefc043461]

Bonjour,

j'ai un problème de compréhension:
si on a un espace vectoriel de dimension n, et qu'on dispose de n vecteurs X₁, X₂, .... , X_n, comment fait-on pour engendrer, à partir de ces n-vecteurs, un tenseur de type (n,0) (un n-vecteur quoi...)?
Je suis en train de lire un bouquin dont un chapitre traite d'algèbre tensorielle (c'est le "cours de géométrie analytique et d'algèbre linéaire" de Beklémitchev), il y est question de "produit alterné de vecteurs", mais je ne comprends pas bien ce que c'est...
Si quelqu'un a des explications à ce sujet ou même un bon bouquin d'introduction à l'algèbre tensorielle, je suis preneur!

Merci beaucoup!
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[Amanuensis]

Bonjour,

si on a un espace vectoriel de dimension n, et qu'on dispose de n vecteurs X₁, X₂, .... , X_n, comment fait-on pour engendrer, à partir de ces n-vecteurs, un tenseur de type (n,0) (un n-vecteur quoi...)?

La question n'est pas très claire. La réponse qui vient à l'esprit va paraître stupide, c'est . La question est en fait la même que "qu'est-ce que le produit tensoriel de n vecteurs ?", et la réponse est juste d'aller voir et comprendre la définition du produit tensoriel, il me semble.

Note 1 : La dimension de l'espace vectoriel n'a pas besoin d'être égale au nombre de vecteurs.

Note 2 : le terme "n-vecteur" est plus souvent utilisé pour le résultat du produit extérieur, et non pas du produit tensoriel (e.g., là)

il y est question de "produit alterné de vecteurs"

A priori c'est le produit extérieur, à vérifier.

Le produit extérieur est par exemple, à un facteur près, la somme des produits tensoriels obtenus en appliquant toutes les permutations possibles des n vecteurs pondérés par la signature de la permutation.

Par exemple pour deux vecteurs , pour 3 vecteurs il y a aura 6 termes, pour n vecteurs n! termes.

Le produit extérieur a un rapport avec le produit vectoriel, avec le déterminant, et, dans le cas des formes, un rapport avec les notions d'aire, de volume, etc.

[invitefc043461]

Merci beaucoup!
A vrai dire, je ne fais que m'initier à toutes ces histoires d'algèbre tensorielle depuis quelques jours, donc les réponses qui peuvent paraître stupides ne le sont pas encore pour moi ^^

le terme "n-vecteur" est plus souvent utilisé pour le résultat du produit extérieur, et non pas du produit tensoriel

Ok. Je viens de revoir la définition que j'ai, "un n-vecteur est un tenseur de type (n,0) antisymétrique par rapport à tous les indices". Ce que je veux obtenir, c'est bien un n-vecteur. Donc apparemment, le "produit alterné de vecteurs", ça semble être le produit extérieur. Et tu m'en as donné la définition, c'est cool, merci!

Bon bah maintenant il faut que je comprenne bien la définition du produit tensoriel alors. Je crois que je pourrais me débrouiller pour ça

Merci beaucoup encore une fois!

[Amanuensis]

(...)

Dans ce cas, il est intéressant de noter que si on part de l'espace vectoriel euclidien de dimension n, le produit extérieur de n vecteurs est quasiment la même chose que le déterminant. (Si le déterminant est un scalaire d, le produit extérieur des n vecteurs est d fois un générateur unitaire de l'espace engendré par les n-vecteurs, qui est de dimension 1.)

Ou encore, dans ce cas on parle de "pseudo-scalaire".

La définition d'un p-vecteur comme produit extérieur de p vecteurs s'applique à p de 1 à n...

(Je précise cela car il n'est pas clair dans la question initiale si c'est seulement le cas particulier de p = n dont il était question.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc043461]

le produit extérieur de n vecteurs est quasiment la même chose que le déterminant

Oui, je viens de me farcir le produit extérieur de trois vecteurs de IR³, le déterminant m'est apparu comme l'un des coefficients du tenseur (multiplié par 6, à cause du 1/6 dans l'expression du produit extérieur). C'est le seul coefficient qui ne possède pas pas de répétitions d'un même coefficient de l'un de mes trois vecteurs initiaux.

(Je précise cela car il n'est pas clair dans la question initiale si c'est seulement le cas particulier de p = n dont il était question.)

Oui, seul le cas p=n m'intéresse pour l'instant, mais merci pour tes précisions. C'est justement pour avoir une nouvelle vision du déterminant que je me suis intéressé à ces histoires tensorielles ^^

un générateur unitaire de l'espace engendré par les n-vecteurs, qui est de dimension 1

... Là je dois t'avouer que j'ai pas bien compris

[Amanuensis]

... Là je dois t'avouer que j'ai pas bien compris

L'ensemble de tous les n-vecteurs engendre par combinaisons linéaires un espace vectoriel S.

Si on prend les représentations par "matrices", ce sont des "matrices hypercubiques" à n^n composantes, 3x3x3 = 27 composantes dans le cas de la dimension 3 ("matrices cubiques"). Mais comme elles sont totalement antisymétriques, S n'est qu'un sous-espace vectoriel de l'espace total de ces matrices, et il a une dimension inférieure à n^n. On vérifie que sa dimension est tout simplement 1 (a).

Cela veut dire que la matrice se présente sous la forme d'un scalaire fois une matrice constante. (Qui est le produit extérieur des n vecteurs de la base orthonormale, ce qui a un sens en se plaçant en euclidien et en considérant la matrice selon une base orthonormale.) Cette "matrice cubique" n'a que des 0, des 1 et des -1 comme composantes.)


Note (a) : Plus généralement, les p-vecteurs engendrent un espace de dimension C(n,p).

[Amanuensis]

Oui, je viens de me farcir le produit extérieur de trois vecteurs de IR³, le déterminant m'est apparu comme l'un des coefficients du tenseur (multiplié par 6, à cause du 1/6 dans l'expression du produit extérieur). C'est le seul coefficient qui ne possède pas pas de répétitions d'un même coefficient de l'un de mes trois vecteurs initiaux.

Hmm.. Vous avez dû calculer le produit tensoriel, ou ne pas avoir antisymétrisé complètement. Normalement vous ne devez trouver que des 0, des +6d et -6d (ou +d et -d si la division par 3! a été faite).

L'antisymétrisation supprime les composantes du produit tensoriel ayant une "répétition d'un même coefficient de l'un [des] trois vecteurs initiaux".

[invite76543456789]

Bonjour,

Par exemple pour deux vecteurs , pour 3 vecteurs il y a aura 6 termes, pour n vecteurs n! termes.

Je me permet de mettre en garde contre cette presentation, car le morphisme obtenu entre et n'est pas un morphisme d'algèbre, en d'autre terme la multplication des n'est pas induite par la multiplication des tenseurs (alors que c'est bien le cas normalement). A manier avec precaution.

[Amanuensis]

Bonjour,

Je me permet de mettre en garde contre cette presentation, car le morphisme obtenu entre et n'est pas un morphisme d'algèbre, en d'autre terme la multplication des n'est pas induite par la multiplication des tenseurs (alors que c'est bien le cas normalement). A manier avec precaution.

Oui, j'en ai conscience. Je préfère la notion de classes modulo l'idéal engendré par les , plutôt que prendre un représentant particulier. (Ceci dit, pour moi, c'est pareil que confondre 2 et la classe de 2 modulo 3, ce n'est pas une gymnastique bien difficile que ne pas confondre 4 et 1 quand on multiplie 2 par 2...)

Mais j'avais estimé qu'il fallait faire un compromis pour expliquer à quelqu'un qui débute, et présenter un représentant parle mieux au début, il me semble... J'imagine que cet échange ne va pas être très parlant pour celui qui pose des questions sur ce fil !