Differentiabilité

[invite46a05d69]

Bonjour

Je bloque un peu sur un théorème :

"Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans Rp. Si toutes les dérivées partielles de f existent sur U et si elles sont continues en un point a de U, alors f est différentiable en a"

Réciproquement, si f est différentiable, alors les dérivés partielles existent... mais sont-elles continues?
Je raisonne comme suit : la différentielle est linéaire, donc en dimension finie, elle est bornée pour toute norme ( équivalence des normes ) donc continue, donc les composantes du vecteur Df qui sont les dérivés partielles de f sont continues.
Ainsi pour moi le théorème est une équivalence ssi la dimension est finie ( ce qui est le cas de l'étude... )

Donc lorsqu'il s'agit de montrer que f est différentiable ( en dimension finie ), il suffit de montrer que les dérivés partielles existent non?

Ai-je raison? Ou bien où est ce que mon raisonnement est faux ?

De plus, si je continue ce raisonnement, en dimension finie f est de classe C1 si et seulement si les dérivés partielles existent ?

merci.
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[Amanuensis]

Réciproquement, si f est différentiable, alors les dérivés partielles existent... mais sont-elles continues?

Je raisonne comme suit : la différentielle est linéaire, donc en dimension finie, elle est bornée pour toute norme ( équivalence des normes ) donc continue, donc les composantes du vecteur Df qui sont les dérivés partielles de f sont continues.

Oui

Ainsi pour moi le théorème est une équivalence ssi la dimension est finie ( ce qui est le cas de l'étude... )

Oui (du moins pour le "si" pour le ssi, faudrait démontrer que trouver une fonction non différentiable à dérivées partielles continues implique que la dimension est infinie...)

Donc lorsqu'il s'agit de montrer que f est différentiable ( en dimension finie ), il suffit de montrer que les dérivés partielles existent non?

Ben non, faut aussi qu'elles soient continues, c'est ce que vous indiquez d'entrée !?

[invite46a05d69]

Merci beaucoup pour ces confirmations ! Oui pardon, je voulais dire "existent et sont continues "

et sinon donc C1 équivalent à différentiable ? merci !

( désolé je débute un peu en calcul différentiel )

[invite76543456789]

Bonjour!

Réciproquement, si f est différentiable, alors les dérivés partielles existent... mais sont-elles continues?
Je raisonne comme suit : la différentielle est linéaire, donc en dimension finie, elle est bornée pour toute norme ( équivalence des normes ) donc continue, donc les composantes du vecteur Df qui sont les dérivés partielles de f sont continues.
Ainsi pour moi le théorème est une équivalence ssi la dimension est finie ( ce qui est le cas de l'étude... )

Donc lorsqu'il s'agit de montrer que f est différentiable ( en dimension finie ), il suffit de montrer que les dérivés partielles existent non?

Ai-je raison? Ou bien où est ce que mon raisonnement est faux ?

Non ton raisonnement est faux, tu confond la differentielle en un point, et la fonction qui a x associe df(x).
Il ne faut pas ici montrer que df(x) est continue (ce qui est de toute façon prescrit dans la definition et automatique en dimension finie comme tu l'as remarqué) mais que x->df(x) est continue, ce qui est bien different.
Du reste je suis sur que tu as deja vu des fonctions derivables mais pas C1, par exemple x²sin(1/x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite46a05d69]

Merci MissPacMan pour ta réponse !

Effectivement je ne faisais pas bien la distinction... Je crois que j'ai compris, f est C1 si f est différentiable et la fonction x-> Df(x) est continue.
Mais f peut être différentiable en un point a ( avec Df(a) continue car linéaire ) sans que x->Df(x) soit continue en tout point a, c'est ça?
merci pour votre patience !

[Amanuensis]

Je raisonne comme suit : la différentielle est linéaire, donc en dimension finie, elle est bornée pour toute norme ( équivalence des normes ) donc continue, donc les composantes du vecteur Df qui sont les dérivés partielles de f sont continues.

Mea culpa, en disant "oui", je ne répondais qu'à la seconde partie, seulement :

continue, donc les composantes du vecteur Df qui sont les dérivés partielles de f sont continues.

La première partie (sur la linéarité) n'est pas pertinente, comme l'indique MissMacMan.

[invite46a05d69]

merci à vous deux !
oui j'ai compris après Amanuensis merci