Série de fonctions

[invite16925a82]

Bonjour, un peu d'aide s'il vous plait !

Je bloque pour montrer la convergence simple de ma série.La fonction est fn(x)=(-1)^n * cos((2n+1)x)/2n+1

Je majore le haut par 1 mais j'ai un problème car la série des 1/n diverge.

Merci d'avance
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[invited9422e7e]

Salut,
as-tu essayé de montrer la convergence normale,uniforme? ces dernières impliquerait la convergence simple.

[phys4]

Bonsoir,

La série est alternée, avez vous essayé de regrouper deux termes successifs ?

[gg0]

Bonjour.

Difficile d'appliquer les critères simples, les signes des cosinus variant de façon irrégulière généralement. Pourtant, c'est la série de Fourier d'un signal carré pair. Ce qui donne une façon simple de trouver la somme (et donc la convergence). Si on ne dispose pas de la théorie, probablement faut-il utiliser le critère d'Abel.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite16925a82]

Bonsoir,merci d'avoir pris le temps de me répondre.

Pour la convergence normale sur un segment,je tombe sur le meme probleme.

La série est maheureusement pas alternée.

J'avais pensé aux séries de Fourier mais d'ici à calculer cettes somme, je ne vois pas du tout comment faire .

Merci

[gg0]

OK !

Un essai avec un traceur de courbes montre que la série semble converger vers le signal carré pair défini par f(x) = a de 0 à Pi/2 et f(x)=-a de Pi/2 à Pi. Evidemment on obtient 0 pour Pi/2 puisque les cosinus s'annulent. Et a vaut environ 0,785, ce qui fait qu'on pense à a=Pi/4.
Il ne reste plus qu'à chercher la série de Fourier de cette fonction et à appliquer le théorème sur les fonctions C1 par morceaux. Eventuellement dans un formulaire de séries de Fourier.

Cordialement