Loi de Proba. du temps entre deux piles au jeu du pile ou face

[invitebf95477d]

Bonjour,

J'ai un exercice à rendre pour demain, et comme tout bon étudiants je m' y prend la veille pour le lendemain ...

On veut déterminer la loi de proba du temps entre deux piles

Je vous montre ce que j' ai fais

proba d'obtenir un pile = p
on lance la pièce jusqu'à avoir deux piles
on note X1 la variable indiquant le nombre de lancers avant le premier pile
on note X2 la variable indiquant le nombre de lancers entre le premier et le second pile

Z=X1+X2 : nombre de lancers pour obtenir deux piles

Z=j (avec j>=2) signifie que sur les (j-1) premiers lancers on a obtenu un pile et (j-2) faces

Si on appelle T la variable aléatoire qui correspond au nombre de piles sur les j-1 premiers lancers, c' est une loi binomiale de type B(j-1,p)

P(Z=j)=P(T=n-1 inter Pn)


ce qui me donne en résultat final ( alors attention la je me suis enflamme un peu trop d' ailleurs ) (j-1,1)*p^2*(1-p)^(j-2)


Qu' en pensez-vous est ce le bon raisonnement et le bon résultat ?


Je vous remercie d' avance


Lucas
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[gg0]

Bonjour.

Z=j ce n'est pas seulement un pile sur les j-1 premiers lancers, mais aussi un pile au j-ième.
Sinon, X1 et X2 ont des lois connues (et faciles à trouver). En me servant de leur indépendance je trouve un résultat plus simple et égal au tien (car (j-1,1) est une écriture bien compliquée de j-1).

Cordialement.

[invitebf95477d]

Bonjour gg0,

Tout d' abord merci pour la rapidité de ta réponse.

Mais je ne comprends ce que tu veut dire par : " Z=j ce n'est pas seulement un pile sur les j-1 premiers lancers, mais aussi un pile au j-ième."
car si j=égal le nombre de lancers jusqu' au deuxième pile, au lancer (j-1) nous avons bien obtenu qu' un seul pile ? ou est-ce que je m' enterre en disant cela ?

Donc si on trouve le même résultat, cela veut dire que j'ai répondu à la question est que : (j-1,1)*p^2*(1-p)^(j-2) est la loi de proba que je cherche ?

(j-1,1) : coefficient binomial

Merci d' avance


Lucas

[gg0]

En fait,

tu as calculé la loi du nombre de lancers nécessaires à obtenir 2 piles. Et je trouve comme toi.
Si c'est la loi du nombre de lancers entre 2 piles, c'est bien plus simple : c'est la même que la loi du nombre de lancers avant un pile (*). Car il y a indépendance. Et c'est une loi très connue.

Cordialement.

(*) En fait tout dépend si on compte le lancer du Pile final ou pas. Si on ne le compte pas, la variable X varie de 0 à l'infini; si on le compte, la variable Y varie de 1 à l'infini, avec Y=X+1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf95477d]

D' accord, merci encore pour ta réponse.

Mais j' ai encore un doute, "tu as calculé la loi du nombre de lancers nécessaires à obtenir 2 piles" du coup je n' ai pas répondu à l' énoncé de ma question qui était de trouver la loi de proba du temps pour avoir deux piles ?

Encore une petite question , c' est une loi très connue, c' est une loi de proba de type binomial ?

Merci d' avance


Lucas