Jeu semblable à pile ou face - Proba

[invite86d83831]

Bonsoir à tous
Voilà je vous pose ce problème :

Prenons un jeu semblable à celui des pièces: je lance une pièce de monnaie, si ça fait pile je gagne, si ça fait face je perd et je relance, et comme cela indéfiniment jusqu'à ce que ça fasse pile.
Je dis bien semblable, car la proba à chaque nouveau lancer est de 1/2 de gagner (de faire pile) or dans mon cas de figure la proba à chaque nouveau "lancer" est différent. C'est-à-dire qu'au lieu d'avoir, proba de A: 1/2, proba de B: 1/2, proba de C: 1/2 etc.. on à proba de A: 1/2, proba de B: 1/4, proba de C: 1/6, de D: 1/8 etc...
C'est comme si au lieu de lancer une pièce de monnaie à deux faces, on lançait au départ une pièce de monnaie à deux faces, puis un dé à 4 faces puis un dé à 6 faces puis un dé à 8 faces puis à 10 faces etc.. avec toujours pour objectif qu'une face précise tombe pour gagner.
(l'univers concerné est bien infini)

Dans ce cas, la probabilité de gagner avec A est 1/2, et il y a aussi 1/2 comme proba de ne pas avoir gagné. la probabilité de gagner avec B est alors 1/2 fois 1/4, soit 1/8. Et il reste 3/8 comme probabilité de ne pas avoir encore gagné après 2 coups (donc 5/8 comme proba d'avoir gagné après 2 coups). D'où la probabilité de gagner avec C : 3/8 fois 1/6, et ainsi de suite...

Le cadre maintenant posé, voici ma question:
_ Dans le jeu classique de pile ou face, on gagne en moyenne un coups sur 2. Mais ici qu'en est-il? J'ai une petite idée sur la question mais plein de doutes! Je ne dirai rien pour vous laisser toute votre créativité

_Il me semble que la plus longue série d'une même couleur à une roulette réelle (et non en ligne car je crois que c'est truqué) est été de 27 noirs consécutifs (pour simplifier, on dira qu'il y a 2 couleurs à la roulette: rouge et noir et donc que la proba de tomber sur le noir est 1/2 à chaque coup), il me semble qu'il faut attendre en moyenne 134 217 728 coups pour tomber sur une série aussi longue!
PS: il faut attendre en moyenne 256 coups pour voir une série de + de 8 couleurs consécutives.

Mais, en jouant à mon jeu (où les événements sont de + en + incertains) et seulement 200 coups (< à 256), à quelle sorte de mauvaise série puis-je m'attendre à votre avis?
Honnêtement, je ne sais pas le traduire mathématiquement, ni même ne sais si il est possible de le faire, mais plus de 100 coups à jouer sans gagner ne me semble pas envisageable. Serte tout peut arriver, mais sur toute l'histoire de la roulette 27 noirs consécutifs à été la plus longue série! Et jeter un coup d'œil au PS (serte dans les 2 cas les événements n'ont pas la même proba mais quand même)!

Essaie-je de "jouer" sur les nombres? peut-être bien, quand on est désespéré lol
Mais toutes réponses constructives m'intéressent,

Merci d'avance, Cordialement
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[invite986312212]

bonjour,

ce genre de modèle probabiliste a été bien étudié. Souvent on l'exprime en termes d'urne, dans laquelle on ajoute des billes perdantes ou gagnantes à chaque fois que l'on perd. Evidemment on obtient une loi différente de la loi géométrique correspondant à la probabilité constante. Mais pour voir un changement qualitatif il faut une décroissance de la probabilité de gagner plus rapide que linéaire.

[NicoEnac]

Bonjour,

La probabilité de ne pas avoir gagné au tour n est de qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Donc faire plus de 100 coups sans gagner représente environ une chance sur 10³¹. Cela "ne vous semble peut-être pas envisageable" mais cela peut arriver. A comparer à la chance sur 10 000 000 d'avoir les 6 bons numéros au loto bien sûr.

[invite86d83831]

Bonsoir et merci bcp pour vos réponses!
En effet, mon jeu peut être traduit par ça:

On dispose d'une urne avec une boule rouge et une boule noir,

premier cas: la première boule tirée est rouge et on a donc gagné, dans ce cas on remet la boule rouge dans l'urne et on recommence.

deuxième cas: la boule tirée est noir, on a perdu, on remet la boule noir dans l'urne et on rajoute 2 autres boules noirs (ainsi il y a 4 boules en tout dans l'urne: 3 noirs et 1 rouge). la deuxième boule tirée est à nouveau noir, on a encore perdu, on remet donc la boule noir dans l'urne et on rajoute encore 2 autres boules noirs (il y a maintenant 6 boules en tout dans l'urne: 5 noirs et 1 rouge ) et on continue à rajouter 2 noirs tant qu'on à pas trouver de rouge.


Dans ce jeu, si on ne trouve pas la boule rouge assez vite, on se retrouvera avec bcp de boules noirs et donc de + en + difficile de gagner.

S'il vous plait, connaissez-vous un topic qui a abordé exactement le même sujet, si oui pouvez-vous me fournir le lien?
Si non, pouvez vous m'exprimer ce jeu mathématiquement, pour que j'essaie d'avoir des éléments de réponses pour savoir si oui ou non ce jeu est profitable au joueur.
Enfaite ce que je voudrai absolument, c'est savoir si mathématiquement, le joueur est gagnant.

PS: NicoEnac comme je l'ai dis "Serte tout peut arriver", je sais qu'il y a une probabilité pour qu'au pile ou face, une des faces tombe 100 fois de suite mais comme tu l'as montré cette probabilité est de 10^31 donc plus qu' infime! C'est tellement infime, qui si on va prendre au srx des proba si faible, ça ne vaut pas le coup de jouer, me comprends-tu?
C'est comme avant même de jouer au poker, on va se dire, "oui mais si l'autre a 5 quinte flush de suite c'est sur que je vais perdre donc vaut mieux ne pas jouer", vois-tu?

Ce que je veux dire, c'est qu'il est possible que même après 1000 coups je perde toujours je suis d'accord mais, ce que je voudrai savoir, c'est par exemple dans mon jeu (pas pile ou face mais celui de l'urne), dois-je m'attendre à une série de 100 coups sans gagner?

Merci d'avance, Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

avec le jeu que tu as décrit dans le premier post, la probabilité de gagner en 100 coups est d'environ 0.9436515.

[invite86d83831]

Bonsoir,
Merci bcp Ambrosio de ta réponse,

lorsque tu dis "avec le jeu que tu as décrit dans le premier post" est-ce que tu veux dire par la que mon premier post ne décrit pas le même jeu que dans le second. Car le deuxième post avec le jeu des urnes, c'est normalement la même chose que le premier poste.
Enfaite lorsque je disais "on lançait au départ une pièce de monnaie à deux faces, puis un dé à 4 faces puis un dé à 6 faces puis un dé à 8 faces puis à 10 faces etc.. avec toujours pour objectif qu'une face précise tombe pour gagner. " cela devait équivaloir à
"On dispose d'une urne avec une boule rouge et une boule noir,

premier cas: la première boule tirée est rouge et on a donc gagné, dans ce cas on remet la boule rouge dans l'urne et on recommence.

deuxième cas: la boule tirée est noir, on a perdu, on remet la boule noir dans l'urne et on rajoute 2 autres boules noirs (ainsi il y a 4 boules en tout dans l'urne: 3 noirs et 1 rouge). la deuxième boule tirée est à nouveau noir, on a encore perdu, on remet donc la boule noir dans l'urne et on rajoute encore 2 autres boules noirs (il y a maintenant 6 boules en tout dans l'urne: 5 noirs et 1 rouge ) et on continue à rajouter 2 noirs tant qu'on à pas trouver de rouge."

Ensuite lorsque tu dis "la probabilité de gagner en 100 coups est d'environ 0.9436515.", tu veux bien dire par là que avec mon jeu (et non pile ou face) j'ai quasi 95% de chance de gagner une fois en 100 coups? Comment as tu eu ce résultat, peux-tu m'expliquer ta démarche?

Merci d'avance, Cordialement

[invite1e1a1a86]

la probabilité de tirer une noire au premier tour est 1/2
Alors, la probabilité de tirer une noire au second tour est 3/4
Alors, la probabilité de tirer une noire au troisième tour est 5/6
....
Alors, la probabilité de tirer une noire au n-ième tour est 1-1/2n

Ainsi, la probabilité de n'avoir tiré QUE des boules noires sur n tours est:



La probabilité d'avoir tiré au moins une rouge est donc

Sauf erreur,
ça fait:


soit pour n=100: 94,37% en accord avec Ambrosio.

[invite86d83831]

Bonsoir, merci bcp pour votre réponse SchliesseB!
Je ne comprend pas les deux points d'exclamations dans votre dernier calcul. Quand j'essaie de taper ce calcul sur ma calculette, le résultat affiché est 1 lol
Pouvez vous s'il vous plaît faire le calcul pour n=1000 et me dire le résultat?
Il me semble que le nombre de coups pour être certain de gagner est infini... néanmoins 94,37% de chance de gagner une fois pour 100 coups c'est énorme!

Enfin, j'aimerai bien prendre également en compte ce jeu:
On dispose d'une urne avec deux boules rouges et une boule noir,

premier cas: la première boule tirée est rouge et on a donc gagné, dans ce cas on remet la boule rouge dans l'urne et on recommence.

deuxième cas: la boule tirée est noir, on a perdu, on remet la boule noir dans l'urne et on rajoute 3 autres boules noirs (ainsi il y a 6 boules en tout dans l'urne: 4 noirs et 2 rouges). la deuxième boule tirée est à nouveau noir, on a encore perdu, on remet donc la boule noir dans l'urne et on rajoute encore 3 autres boules noirs (il y a maintenant 9 boules en tout dans l'urne: 7 noirs et 2 rouges ) et on continue de rajouter 3 noirs tant qu'on à pas trouver de rouge."

Ainsi au lieu d'avoir "proba de A: 1/2, proba de B: 1/4, proba de C: 1/6, de D: 1/8 etc..." on a proba de A: 2/3, proba de B: 2/6, proba de C: 2/9, proba de D: 2/12 etc....

Enfaite au lieu d'avoir: 1/2 puis 1/4 puis 1/6 etc.. on a 1/1,5 puis 1/3 puis 1/4,5 puis 1/6 .... voyez.
Dans ce second jeu, la proba de tirer un rouge en 100 coups est de cb? elle doit être supérieur à celle du premier jeu. A mon avis, proche de 99%

Merci d'avance pour vos réponses, Cordialement
PS: je crois qu'je vous embêterez plus après ça ^^ encore merci

[invite1e1a1a86]

est le symbole factorielle.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle



par exemple:


pour n=1000, on trouve que la probabilité de gagner au premier jeu est de 98,21%.
Et oui, "Il me semble que le nombre de coups pour être certain de gagner est infini... néanmoins 94,37% de chance de gagner une fois pour 100 coups c'est énorme! " est juste.

pour le second jeu, on fait le même raisonnement:
la probabilité de tirer une noire au premier tour est 1/3 (1 noire/2 rouges)
Alors, la probabilité de tirer une noire au second tour est 4/6 (4 noires/2rouges)
Alors, la probabilité de tirer une noire au troisième tour est 7/9 (7 noires/2rouges)
....
Alors, la probabilité de tirer une noire au n-ième tour est 1-2/3n (2 rouges pour 3n boules)

la probabilité cherchée est donc:


on peut sûrement l'écrire avec des factorielles comme pour l'autre...

 Cliquez pour afficher

Mais ça donne:

pour n=100: 98.26%

pour n=1000: 99.62%

[invite86d83831]

Géniaal!
Merci bcp SchliesseB c'est exactement ce que je voulais

Et crois-tu qu'il est possible de faire une sorte de "moyenne" des proba? Par exemple pour les 5 premiers coups on a les probas suivantes: 1/2 puis 1/4 puis 1/6 puis 1/8 puis 1/10, crois-tu qu'il est possible de faire une moyenne de ces proba afin d'avoir 5 évènements équiprobables qui soient dans leur ensemble "identique" à ces 5 coups ci ?

Par exemple au lieu d'avoir 1/2 puis 1/4 puis 1/6 puis 1/8 puis 1/10 on aurait 1/X puis 1/X puis 1/X puis 1/X puis 1/X.

Ca m'aiderait à comparer ce jeu à celui du pile ou face ^^

Merci d'avance, Cordialement

[invite86d83831]

PS: n'est-ce pas plutôt "2^n*n²" et non pas "2^2n*n²" dans ta pré-précédente réponse (le dernier calcul encore)? ^^
dsl du double post
Merci

[invite1e1a1a86]

Par exemple au lieu d'avoir 1/2 puis 1/4 puis 1/6 puis 1/8 puis 1/10 on aurait 1/X puis 1/X puis 1/X puis 1/X puis 1/X.

Ca m'aiderait à comparer ce jeu à celui du pile ou face ^^

Merci d'avance, Cordialement

Si j'ai bien compris:
tu cherches tel que (premier cas)



Je ne vois pas ce que tu peux en dire de plus (passer au log?). Tu n'arriveras pas à mon avis à trouver simplement X. Tu pourras au mieux trouver un équivalent de en l'infini.


Sinon je ne vois pas d'erreur. Mais je me suis peut-être trompé

[NicoEnac]

Bonjour,

La probabilité de ne pas avoir gagné au tour n est de qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Donc faire plus de 100 coups sans gagner représente environ une chance sur 10³¹. Cela "ne vous semble peut-être pas envisageable" mais cela peut arriver. A comparer à la chance sur 10 000 000 d'avoir les 6 bons numéros au loto bien sûr.

Désolé pour mon post, je n'avais pas bien compris le problème. Ma réponse ne doit pas être prise en compte (ce qu'apparemment vous avez tous fait et je vous en remercie).

Pour ce que ça vaut, j'ai relu les réponses des autres intervenants et leur raisonnement est le bon.

[invite86d83831]

Bonsoir
Merci pour vos réponses et pour votre intérêt envers mon topic

SchliesseB, dans tes trois précédentes réponses, tu as utilisé le symbole mathématique pi. En regardant sur ce lien "http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi_%28lettre_grecque%29"
j'en déduis que dans ton avant dernière réponse lorsque tu as mis:
"la probabilité cherchée est donc: ...(je ne peux copier ton calcul car c'est une image)" et bien ce calcul équivaut à:
1-(1*2*3*..*n)*(1-2/3n)

Ai-je tord?
Et comment puis-je taper ton calcul sur une calculette scientifique: Casio Graph35+ ? car j'aimerai faire le même calcul mais cette fois avec des probas encore différentes. C'est-à-dire au lieu de 2/3n ce serait 1/11n .
(C'est-à-dire que la probabilité de tirer une noire au n-ième tour est 1-1/11n et non pas 1-2/3n)
Si le calcul t'ai rapide à faire, peux-tu me dire quel est le % de chance de gagner une fois pour 100 coups, et pour 1000 coups avec le cas: 1/11n ?

Une dernière chose
Dans le calcul de ta dernière réponse, tu as mis: (1-1/2i)
or dans ton avant dernière réponse, tu as mis: (1-2/3n)

Pourquoi une fois l'on met "i" et l'autre fois "n"?
Enfaite je comprends pour "n", mais "i" je ne vois pas.

Je sais que je demande plein de choses et que vous avez bcp de topics à traiter, je peux me montrer patient
Merci d'avance

[invite1e1a1a86]

le était une faute de frappe...il s'agissait d'un

la notation veut dire "produit de i=1 à i=n des f(i).

ici, j'ai fait

Sur un casio, tu peux faire un petit programme par récurrence, style
"
X:=1
pour i allant de 1 à n
X=X*(1-1/(2*i))
X
"
(avec la bonne écriture...from à la place de pour etc...)

ps: tu aurais peut-être dû donner ton niveau directement, j'aurais alors adapté ma réponse.

[invite86d83831]

Bonjour,
Merci SchliesseB de ta réponse
Quelle calculatrice as-tu utilisé pour tes calculs? Crois-tu que je peux trouver une équivalente à télécharger ou à utiliser en ligne sur internet?
Je n'aime pas beaucoup les programmes à vrai dire.. :S

Merci d'avance, Cordialement

[invite1e1a1a86]

Ce n'est pas vraiment une "calculatrice" mais j'utilise des logiciels payants comme mathématica ou maple.

[invite86d83831]

Bonsoir et merci de ta réponse
Malheureusement, je n'ai pas très confiance sur le fait d'acheter sur internet, mais ça n'est pas grave ^^

Vous souvenez-vous dans mon premier cas:
on a l'évènement A qui a une proba 1/2, si on perd (c'est-à-dire si A ne se réalise pas) alors on a l'évènement B qui a une proba 1/4 puis si on perd on à l'évènement C qui a une proba 1/6 etc...

En faite, ici, j'aimerai remplacer l'évènement B (qui a une proba 1/4) par les deux évènements B1 et B2 qui ont chacun une proba 1/6, et il suffit de gagner à un de ces 2 évènements (à B1 ou B2) pour que le jeu s'arrête, c'est un peu farfelu ^^

(C'est-à-dire qu'on a: A qui à une proba 1/2 puis si on perd c'est pas B qui a une proba 1/4 mais 2 évènements B1 et B2 qui ont une proba 1/6 (c'est-à-dire, cette fois il ne faut pas gagner à un évènement qui a une proba 1/4 mais à au moins un évènement sur 2 qui ont une proba 1/6) voyez-vous ? )

En restant dans ce principe là de jeu, mon raisonnement ci-dessous est-il bon: ?
La probabilité de gagner avec B1 est 1/6, et il y a 5/6 comme proba de ne pas avoir gagné. La probabilité de gagner avec B2 est alors 5/6 fois 1/6, soit 5/36. On a donc 1/6 + 5/36, soit 11/36 comme proba d'avoir gagné après ces 2 coups?
Or: 11/36= 0,31 (j'ai arrondi) et 1/4= 0,25

Donc la proba de gagner augmente lorsqu'on remplace l'évènement B par les évènements B1 et B2, ai-je raison?
Enfaite ce qui me tracasse, c'est si ma démarche pour connaître la proba de gagner à B1 ou à B2 est là bonne? La proba de gagner à B1 ou B2 n'est-elle pas plutôt 1/6 + 1/6= 1/3 ?

Alors p(B1"union"B2)=11/36 ou 1/3 ??

Merci d'avance!
(lol ils sont fun les smileys)

[invite986312212]

En faite, ici, j'aimerai remplacer l'évènement B (qui a une proba 1/4) par les deux évènements B1 et B2 qui ont chacun une proba 1/6, et il suffit de gagner à un de ces 2 évènements (à B1 ou B2) pour que le jeu s'arrête, c'est un peu farfelu ^^

bonsoir,

ce que tu proposes est une complication inutile: s'il faut réaliser B1 ou B2 pour gagner, ça revient à dire qu'il faut réaliser B1UB2 (la réunion des deux) dont la probabilité est 1/3 s'ils sont disjoints.

[invite86d83831]

Merci Ambrosio de ta réponse,

Enfaite je ne sais pas vraiment si dans mon cas p(B1UB2)= 1/3 car:
"Imaginons qu'on est 3 évènements différents qui se déroulent au même moment et chaque évènement à une proba de 1/2."
Ainsi, la proba de gagner à un de ces 3 évènements est 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1,5 or dépasser 1 n'est pas possible.
C'est pour ça que j'ai l'impression qu'il faut tout déconditionner lol
Pourriez-vous m'aider à comprendre pourquoi j'ai tort svp?

En second lieu, connaissez-vous un logiciel de probabilité où je pourrai simuler mon jeu des urnes? ou tout simplement simuler des expériences aléatoires?

Merci d'avance, Cordialement.

[invite986312212]

les probabilités s'additionnent si les événements sont disjoints. Il faut penser à un événement comme à un sous-ensemble de l'ensemble des résultats possibles.

au point de vue logiciel, je connais R : http://cran.r-project.org/ , qui a l'avantage d'être gratuit et puissant, mais qui n'est pas facile à maîtriser.

[invite86d83831]

Bonsoir, merci bcp ambrosio de ta réponse,
Je ne sais pas comment trouver les résultat pour n=100 et n=1000 de cette formule:



Quelqu'un pourrait-il me donner ces résultats?
Cette formule me servirait à connaître la proba de gagner une fois sur 100 coups et 1000 coups à l'expérience suivante:
On a un évènement A qui a une proba de 1/11, si A ne se réalise pas, alors vient l'évènement B qui a une proba de 1/22 puis si B ne se réalise pas, alors vient l'évènement C qui a une proba de 1/33 etc...

Merci d'avance, Cordialement

[invitea0ece8ff]

Merci Ambrosio de ta réponse,

Enfaite je ne sais pas vraiment si dans mon cas p(B1UB2)= 1/3 car:
"Imaginons qu'on est 3 évènements différents qui se déroulent au même moment et chaque évènement à une proba de 1/2."
Ainsi, la proba de gagner à un de ces 3 évènements est 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1,5 or dépasser 1 n'est pas possible.
C'est pour ça que j'ai l'impression qu'il faut tout déconditionner lol
Pourriez-vous m'aider à comprendre pourquoi j'ai tort svp?

En second lieu, connaissez-vous un logiciel de probabilité où je pourrai simuler mon jeu des urnes? ou tout simplement simuler des expériences aléatoires?

Merci d'avance, Cordialement.

Si je fais pas d'erreur, dans le cas que tu donnes les évènements ne sont pas disjoins (vu qu'on arrête après avoir gagné à l'un des évènements).
La proba de gagner à l'un des trois évènements, c'est 1 moins la proba de perdre aux trois évènements.
1-(1/2)^3=0.875

Ou alors, comme tu l'as fait dans ton autre poste :
1/2+1/2*1/2+1/2*1/2*1/2=1/2+1/4+1/8=0.875

[invite86d83831]

Bonsoir merci de vos réponses,
Je suis tombé par hasard sur ceci: http://desencyclopedie.wikia.com/wik...27existent_pas lol
qu'en dites vous?

Cordialement

[invite86d83831]

Priez de ne pas tenir compte de mon précédent post, j'ai trouvé ma réponse