Pile ou face, (ou bien...)

[invitecc79f7ac]

Bonjour,

Je suis en Terminale S, nous avions travaillé cette année en maths sur les probabilités, cependant quelque chose me dérange (mais je n'ose pas le demander à mon prof ^^).

Lorsque l'on fait des probabilités, on travaille parfois sur la pièce où l'on considère seulement deux évènements (A : la pièce tombe sur pile - /A : la pièce tombe sur face) puis la même question classique revient : calculer la probabilité de réaliser l'évènement A, en déduire /A.

C'est également la même histoire lorsque l'on demande "pile ou face". Or, une pièce dispose bel et bien de trois positions pour se stabiliser, il y a PILE, FACE, et sa TRANCHE !

Bref, tout ça pour vous demander si vous connaissez la probabilité qu'une pièce tombe sur sa tranche dans un environnement où seule la pesanteur exerce une force : autrement dit, un endroit où il n'y a pas de facteurs capables d'exercer une force sur cette pièce tel que le vent ^^.

Je sais que cette probabilité existe puisqu'il n'est pas impossible de voir une pièce se stabiliser sur sa tranche! Et donc les exercices de probabilité concernant la pièce n'ont plus raison d'être...

Merci.
-----

[invite6daf4ee1]

Ça t'es déjà arrive toi que ça tombe sur la ranche ?

[inviteefca5e50]

Bonjour,
Pour l'exercice de maths, il ne sert à rien de le compliquer avec la possibilité que la pièce tombe sur la tranche, ça n'a absolument aucun intérêt.
Ensuite, je pense qu'il est possible de calculer la proba pour que la pièce tombe sur la tranche, mais il faut connaître l'épaisseur de la tranche et il faut considérer que la pièce a la forme d'un cylindre.

[invitecc79f7ac]

Bonjour,
Pour l'exercice de maths, il ne sert à rien de le compliquer avec la possibilité que la pièce tombe sur la tranche, ça n'a absolument aucun intérêt.
Ensuite, je pense qu'il est possible de calculer la proba pour que la pièce tombe sur la tranche, mais il faut connaître l'épaisseur de la tranche et il faut considérer que la pièce a la forme d'un cylindre.

Considérons alors une pièce de 1,00€ : Elle a un diamètre de 23,25 mm, une épaisseur de 2,33 mm et un poids de 7,5 g.

PS : ça fait bien une demie heure que je lance la pièce, mais pas encore de tranche

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteefca5e50]

C'est sur qu'à mon avis tu n'as pas beaucoup de chances de tomber sur la tranche avec une tranche si "petite". Mais il est possible que celle ci tombe sur la tranche. Si tu prends une pièce avec une tranche de 50 mm je peux t'assurer que ça va très souvent tomber sur la tranche, donc pourquoi pas avec une tranche de 2.33 mm.
Donc à la limite on peut calculer quelle est cette probabilité.
Je veux bien qu'il soit impossible que ça tombe sur la tranche, mais je ne vois pas pourquoi, il faudrait me l'expliquer.

a+

[JPL]

La probabilité de rester sur la tranche lors d'un lancer classique est la combinaison de la probabilité de tomber dans un plan exactement vertical avec elle de rencontrer le sol sur un endroit absolument horizontal, celle que le sol soit parfaitement lisse, et celle qu'il ne présente aucune déformation ou vibration, même minime, lors du choc !

[invite400e5e6a]

Bonjour,

C'est interessant, comme question
Je ne me souviens plus tres bien de mes cours de mecanique du solide, mais je crois pouvoir donner quelques pistes pour aborder le probleme.

La probabilité de rester sur la tranche lors d'un lancer classique est la combinaison de la probabilité de tomber dans un plan exactement vertical avec elle de rencontrer le sol sur un endroit absolument horizontal, celle que le sol soit parfaitement lisse, et celle qu'il ne présente aucune déformation ou vibration, même minime, lors du choc !

Peut-etre me trompe-je, mais je pense au contraire que l'angle peut (et doit !) ne pas etre exactement vertical. Sans cette tolerance, la probabilite serait nulle. (Il faut integrer les angles qui pemettent a la piece de tomber sur la tranche, et ensuite diviser l'integrale par 2*pi. Si on a qu'un seul angle possible, l'integrale est nulle et donc la probabilite est nulle aussi... Non ?)

Dans un modele tres simplifie, en considerant les hypotheses suivantes :
- un sol parfaitement horizontal et plat;
- une piece parfaitement cylindrique;
- une vitesse de rotation de la piece au contact du sol nul (pas tres realiste !);
- une vitesse horizontale nulle lorsque la piece touche le sol (pas tres realiste non plus);

+ d'autres hypotheses sur les frottements et les proprietes mecaniques du sol et de la piece que je ne saurais enumerer (peut-etre que vous pouvez completer !) qui menent a :

- on considere que la piece ne glisse pas et ne rebondit pas (ou alors on ne considere que le dernier rebond...).
- d'autres idees ?...

Ainsi, avec ce modele simple, considerons une piece de rayon r et d'epaisseur a touchant le sol avec un angle theta par rapport a la verticale (Si theta vaut zero, la piece tombe exactement sur la tranche).

Si theta < arctan(a/(2*r)), la piece tombe sur la tranche, sinon, elle tombe sur le cote.

Posons:
theta0 = arctan(a/(2*r))

La probabilite que la piece tombe sur la tranche est:

P = 4*theta0/(2*pi) = 2*theta0/pi

(le facteur 4 vient du fait que par symetrie, on considere le probleme en 2D, avec une piece rectangulaire. Le rectangle a 2 cotes minces (donc on multiplie par 2), et la piece tombera sur la tranche pour theta entre -theta0 et +theta0 (on multiplie encore par 2).)

Applications numeriques :

Lorsque la piece est "carree" (c.-a.-d. r = a/2), on a theta0 = pi/4

P = (2*pi/4)/pi = 1/2 , ce qui est attendu.

En prenant les mesures suivantes donnees par Sephiroth_ange :

a = 2,33 mm
r = 11,625 mm

On obtient un angle theta0 = 0.099882 rad
La probabilite de tomber sur la frange est : P = 0.063587

Cette probabilite, comme vous le remarquez, ne semble pas tres realiste car beaucoup trop elevee. Cela est du aux hypotheses enumerees au debut, en particulier au fait que la piece tombe verticalement et que la rotation de la piece est nulle.

Des volontaires pour completer le modele et lancer des simulations ?

David

[invite400e5e6a]

En fait, je ne suis pas vraiment sur de la definition de theta0. Quelqu'un peut confirmer ?

David

[inviteefca5e50]

C'est à dire que là j'ai un peu de mal à suivre. Désolé, mais est ce que tu pourrais mettre cela sous forme de formule... car moi je ne sais pas comment on fait. C'est juste histoire que ce soit un petit peu plus clair.

Bonne journée !!!

[invite400e5e6a]

Bonjour,

Désolé, mais est ce que tu pourrais mettre cela sous forme de formule...

Je l'ecris comme ca, ca sera peut-etre plus clair :



Avec



r et a, etant respectivement le rayon et l'epaisseur de la piece. est l'angle maximal de la piece avec la verticale pour lequel la piece tombera sur la tranche (on considere la piece en 2D, rectangulaire).

[invitecc79f7ac]

Bonjour,



Je l'ecris comme ca, ca sera peut-etre plus clair :



Avec



r et a, etant respectivement le rayon et l'epaisseur de la piece. est l'angle maximal de la piece avec la verticale pour lequel la piece tombera sur la tranche (on considere la piece en 2D, rectangulaire).

Bonjour,

Merci de te consacrer à ce problème. Cependant, je pense que la formule devrais prendre en compte la masse de la pièce et peut-être même d'autres facteurs physiques ayant un lien avec la pièce ou l'environnement dans lequel la pièce est lancée.

Ce pense qu'il faudrait tout d'abord énumérer les variables essentiels que l'on doit prendre en compte.

[invite400e5e6a]

Bonjour,

Cependant, je pense que la formule devrais prendre en compte la masse de la pièce et peut-être même d'autres facteurs physiques ayant un lien avec la pièce ou l'environnement dans lequel la pièce est lancée.

Bien sur, mais ca va dependre des hypotheses de depart. On peut toujours affiner un modele a l'infini. (On peut par exemple prendre en compte les ecritures gravees sur la piece, cela a certainement une influence sur la probabilite puisque cela affecte la forme de la piece, et peut-etre cree des turbulences dans l'air qui vont modifier la probabilite de tomber avec un certain angle... Mais bon, ca devient impossible a resoudre analytiquement, et ce n'est pas sur que l'impact sur la probabilite est tres important.)

Avec les hypotheses que j'ai enumeree au depart, on n'a pas besoin de connaitre la masse de la piece. Mais on voit bien, apres calcul de la probabilite, que le modele est trop simple, et donc que certaines hypotheses sont trop fortes.

L'etape suivante, je pense, est de rajouter une vitesse horizontale et de rotation non nulles. Peut-etre que les deux vitesses peuvent etre ramenees a une seule variable : l'angle de la reaction du plan lorsque la piece touche le sol (avec les hypotheses precedentes, la reaction du plan etait verticale). Dans ce cas-la, la masse de la piece va certainement devoir etre prise en compte.
Mais la encore, il va falloir faire des hypotheses sur la reaction du plan, qui va dependre de la maniere dont la piece a ete lancee. Il me semble qu'il faudra choisir une densite de probabilite decrivant les differentes reactions du plan possibles...

Bref, ca devient vite tres tres complique, et je ne suis pas sur que meme a ce niveau-la, ca puisse etre resolu analytiquement. Peut-etre qu'il faudra faire des simulations afin d'obtenir une estimation de la probabilite en fonction des differents parametres...

David

[inviteefca5e50]

Bon en effet le résultat semble assez élevé, mais c'est bien le bon... à mon avis dans la réalité un paquet de forces ici négligées modifient pas mal la donne. Mais bon, après on s'en sort plus.
Par contre je ne vois pas pourquoi la masse devrait rentrer dans le calcul.

[inviteea6fd0dc]

Bonsoir,

Va falloir aussi prendre en compte la forme de la "tranche"

Le listel (la tranche) d'une pièce est rarement conforme à la définition que vous souhaitez. Il n'est pas lisse, mais strié, d'où tomber sur une strie signifie ... ne pas y rester, l'équilibre ne pourra se faire qu'entre deux stries successives. De plus, ce listel n'est pas plan, mais présente une courbure, ce qui encourage fortement la pièce à tomber d'un côté où de l'autre.
Le plus simple ne serait il pas de prendre une pièce d'un euro, de la tenir entre deux doigts, de la poser sur la "tranche" et de voir combien de fois elle "tient" ?
Quant à la lancer ????????????????????????????

[invite400e5e6a]

Bonjour,

à mon avis dans la réalité un paquet de forces ici négligées modifient pas mal la donne.

Ben en fait, il n'y a pas tant de forces que ca. Poids, reaction du plan, et frottements de l'air si on veut rentrer dans les details. C'est tout, non ?

Par contre je ne vois pas pourquoi la masse devrait rentrer dans le calcul.

La reaction du plan depend du coefficient de frottement et du poids de la piece (et donc de sa masse).

Il n'est pas lisse, mais strié, d'où tomber sur une strie signifie ... ne pas y rester, l'équilibre ne pourra se faire qu'entre deux stries successives.

Ca, on peut peut-etre ne pas le prendre en compte. Si on considere le listel plat (non courbe) avec des stries, on peut penser que lorsque la piece est sur une strie, la position d'equilibre la plus proche se trouve entre deux stries. De plus, les stries sont parfois extremement proches (par exemple pour les pieces de £1). Dans ce cas, elles peuvent etre negligees.

De plus, ce listel n'est pas plan, mais présente une courbure, ce qui encourage fortement la pièce à tomber d'un côté où de l'autre.

Ah oui, en effet, il y a des pieces comme ca. Il y aussi, au Royaume Uni, des pieces heptagonales... Mais bon, si on prend les cas les plus compliques, on ne s'en sort plus.

Le plus simple ne serait il pas de prendre une pièce d'un euro, de la tenir entre deux doigts, de la poser sur la "tranche" et de voir combien de fois elle "tient" ? Quant à la lancer ?(...)

Je pense qu'une bonne piece pour faire experiences est celle de £1. Elle peut etre assimilee a un cylindre, et le rapport epaisseur/rayon est assez eleve. (diametre: 22.5 mm, epaisseur: 3.15 mm.)

David

[invite21ff4c1d]

moi je sais!! la probabilité est très très mince, mais elle existe belle et bien tu as tout à fait raison, elle est d'autant plus infime qu'il faut prendre plusieurs facteurs dont vous avez omis l'existance!!
tout d'abord, l'attraction terrestre qui va forcement obliger a la pièce de virvoleter dans l'éspace jusqu'à un certain point, à partir du moment ou la pièce atteint sont point mort, elle va redescendre de n'importe quel coté, mais ce n'est d'aucune importance, car lorsque la pièce va frapper le sol, alors un "choc" aura lieu et la, la se sera la fin des haricots magiques car la pièce qui sera arriver jusqu'au sol grâce a la force de gravité, comme cette dernière n'est pas assez puissante, la pièce peut encore rebondire, jamais ou très rarement à la verticale, hors donc, presque impossible.
par contre elle peut arriver au sol a l'horizontal et créer un choc qui la remettra à la vertical (solution déjà plus envisageable) mais là encore les chance sont très fines...

on va aller doucement et trouver la réponse à ta question pas si désinterressante que ça!!

tout d'abord
une pièce de 2.33 mm de tranche,
255 mm de diamètre
env. 5.10705 x 104 mm de surface,
et un poid d'env.6.2 g

le calcul est très simple!!:

6.2/51070.5=0.000121401
2.33/255=0.009137255

=>0.009137255/0.000121401=75.26507114

=>75.26507114/100=0.7526...%

la probabilité que la pièce retombe sur la tranche est donc moins grande que 0.7526% déjà!!

il est maintenant question que d'estimation et de calcul d'incertitude!!

alors bonne chance pour faire tombé ta pièce sur la tranche car tu n'as même pas 1% de chance que cela se produise!!


au plaisir^^ !!


amandine

[invite400e5e6a]

Bonjour Amandine,

tout d'abord
une pièce de 2.33 mm de tranche,
255 mm de diamètre
env. 5.10705 x 104 mm de surface,
et un poid d'env.6.2 g

le calcul est très simple!!:

6.2/51070.5=0.000121401
2.33/255=0.009137255

=>0.009137255/0.000121401=75.26507114

=>75.26507114/100=0.7526...%

Je n'arrive pas a comprendre votre raisonnement...

D'apres ce que vous dites:


avec a tranche, s surface d'une face de la piece, d diametre, m masse.

Pourriez-vous expliquer votre raisonnement ?

Il semblerait que votre resultat s'exprime en , ce qui me parait etonnant. Il me semble qu'il devrait etre sans unite.

David

[polo974]

La masse (pas le poids) n'entre en jeu que dans "l'intensité" des forces, pas dans leurs directions, donc exit, la masse.

Ensuite, comme la pièce tourne et virevolte, il y des cas où la pièce entre en contact avec le sol, tel que si elle ne glissait pas, elle devrait se redresser pour arriver en équilibre sur la tranche, mais comme elle glisse, plouf sur une des faces.

Donc le calcul donnant 6.3% de chance doit être pondéré par le même raisonnement sur le coeff de frottement. Soit en gros si ce coeff est de 10% (assez réaliste) (et en ramenant le problème en 2D), le résultat tombe à 6.3%*6.3% soit 0.4% de proba (pour une pièce cylindrique de 10% d'épaisseur tombant sur un sol à 10% de coeff de frottement).

Ce qui veut dire que si la pièce tombe sur du caoutchouc (coeff de frottement bien plus élevé), les chances remontent. Et sur de la glace fondante les chances diminuent.


Pour revenir aux math,

...Je sais que cette probabilité existe puisqu'il n'est pas impossible de voir une pièce se stabiliser sur sa tranche! Et donc les exercices de probabilité concernant la pièce n'ont plus raison d'être...

Il suffit de dire qu'en cas de chute sur la tranche, la pièce est relancée (jusqu'à ce qu'elle tombe sur une face), ce qui à terme remet 50% de proba sur chaque face =>

Et donc les exercices de probabilité concernant la pièce ont toute leur raison d'être...

[invite400e5e6a]

Bonjour,

Merci polo974 pour les precisions

Donc le calcul donnant 6.3% de chance doit être pondéré par le même raisonnement sur le coeff de frottement. Soit en gros si ce coeff est de 10% (assez réaliste) (et en ramenant le problème en 2D), le résultat tombe à 6.3%*6.3% soit 0.4% de proba (pour une pièce cylindrique de 10% d'épaisseur tombant sur un sol à 10% de coeff de frottement).

J'ai du mal a comprendre comment est ajoute le coefficient de frottement. Pouvez-vous detailler un peu plus ?

En particulier :
- Comment passez-vous de 6.3 a 6.3*6.3, en utilisant les 10%
- Ou le pourcentage d'epaisseur intervient-il ?

Merci !

David

[Médiat]

Le listel (la tranche) d'une pièce

Salut baguette,

Pour info, le listel d'une pièce n'est pas la tranche, mais le petit rebord qui court tout autour des côtés pile et face de la pièce (en architecture, le listel est ... une baguette, étonnant, non !)

[polo974]

Bonjour,
Merci polo974 pour les precisions
....
J'ai du mal a comprendre comment est ajoute le coefficient de frottement. Pouvez-vous detailler un peu plus ?

En particulier :
- Comment passez-vous de 6.3 a 6.3*6.3, en utilisant les 10%
- Ou le pourcentage d'epaisseur intervient-il ?

Merci !

David

Bon, d'abord, c'était un raisonnement assez pifométrique (donc probablement un peu léger...).
Je partais du fait qu'une pièce qui tourne sur elle a une certaine énergie cinétique due au moment d'inertie de la pièce et à la vitesse de rotation (au carré).
Si la pièce tombe pile-poil en position verticale, cette énergie va continuer à faire tourner la pièce et donc la faire tomber.
Si la pièce tombe disons inclinée à 45°, si l'énergie cinétique due à la rotation de la pièce correspond à celle qu'il faudrait pour la redresser et si la pièce ne glisse pas sur le sol, alors elle se redressera et restera debout (sur la tranche).

Donc voilà, ça fait beaucoup de si... (et c'est pas fini... )

Ensuite, on va dire que si la pièce à nettement trop d'énergie, elle va tomber de l'autre coté, rebondir en perdant un peu d'énergie au fur et à mesure pour entrer dans notre cas (c'est mon pifomètre qui me l'a dit!).

Sauf que c'est bien beau, ça, mais il ne faut pas que la pièce glisse et pour cela, il faut que la force tangente au sol ne dépasse x% de la force verticale (x coeff de frottement en %). (encore le pifomètre...)

Ensuite, la combinaison successive de 2 paramètres supposés indépendants (toujours le pifomètre...) se résume à une multiplication.

Donc une pièce de 2.3mm pour 23mm de diamètre -> 10%
en ramenant tout d'un seul coté, (de l'autre coté, c'est pareil)
la pièce peut pencher de 2.3mm au sommet soit un sinus = .1
donc angle = sinus^-1(.1) = environ 5.7°
le tout divisé par 90° (entre horizontale et verticale)
=> équilibre possible dans 6.38% des angles possibles.

si on prend une pièce de 8% d'épaisseur, ça fait 5% de proba.
si on prend une pièce de 12% d'épaisseur, ça fait 7.7% de proba.
Tout ça si la pièce arrive dans cette plage d'équilibre sans avoir glissé.

Pour obtenir tenir compte du glissement, même motif, même punition...
coeff de frottement: .1
donc angle de 5.7°, le tout divisé par 90° => 6.38%

On combine les deux, et hop... => 0.4%

En fait, il faudrait tenir compte de tellement de choses, que j'en conviens de bonne grâce: mon pifomètre est un peu dans le flou.

[polo974]

Oups, Remplacer sinus par tangente, mais comme on est aux faibles angles, ça change quasi rien...

[Emmamaya]

Environ 2 chances sur 1000.
Mesure en 4 heures, 1000 lancers en 1994 au lycée à l'internat B du lycée technique Alfred Kastler de Talence (33) avec une pièce de 10 centimes de francs, sur le sol carrelé du rez-de-chaussée, un mercredi après-midi …
Voilà si ça t’intéresse de

[oxycryo]

et si la pièce roule (c'est un cas que je connais) ça compte, ou il faut attendre qu'elle se stabilise sous le canapé, ou le frigo pour savoir si elle est pile ou face ?

[nicklaus78]

Quand tu fais un exercice de physique dans lequel on t'indique de négliger les frottements, tu commets une erreur bien plus grande.
L'objectif est de poser un exercice de mathématique. Tu cherches midi à 14h.