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Chaitin et la fonction pile ou face



  1. #1
    Petithassane

    Chaitin et la fonction pile ou face


    ------

    Voici un lien concernant Chaitin
    http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/paris.html

    Cet article date. Depuis il semblerait que Chaitin ait mis au point la fonction mathématique " plile ou face".

    Mais c' est très difficile à comprendre, si quelqu' un pouvait expliquer clairement, ce serait appréciable.

    Voila comment je vois les choses:
    Une fonction mathématique donne toujourd le même résultat, une fois définis tous les paramètres. Exemple:

    a+b
    On ne sait pas combien ça fait, présenté comme ça.
    Mais si je fixe a et b, a=2, b=3
    alors a+b=5.


    Mais pour la fonction hasard de Chaitin, ce n' est plus pareil. Imaginons que cette fonction a pour symbol "§".
    Alors 2§3 peut donner comme résultat 0 ou 1. Et on ne peut pas prédire le résultat, alors que tous les paramètres sont fixé.

    Si cette fonction hasard existe, imprédictible bien que tous les paramètres qui la déterminent soient connus, il me semble qu' on peut affirmer que la hasard existe !

    Et donc que toutes les discussions du fil "le hasard existe-t-il ?" pour savoir s' il existe ou pas, sont dépassées.

    -----

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  3. #2
    robert et ses amis

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Salut,

    ton approche est intéressante, mais j'ai bien peur que tu n'obtiennes pas de réponses satisfaisantes tant que tu n'auras pas défini le verbe "exister" dans ta phrase:
    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Si cette fonction hasard existe...

    En fait je pencherais même pour dire que, hormis la définition que l'on donne du hasard, une grande part du problème "le hasard existe-t-il ?" provient de la notion d'existence d'un concept comme le hasard.

  4. #3
    Argyre

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Bonjour,
    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Alors 2§3 peut donner comme résultat 0 ou 1. Et on ne peut pas prédire le résultat, alors que tous les paramètres sont fixé.

    Si cette fonction hasard existe, imprédictible bien que tous les paramètres qui la déterminent soient connus, il me semble qu' on peut affirmer que la hasard existe !

    Et donc que toutes les discussions du fil "le hasard existe-t-il ?" pour savoir s' il existe ou pas, sont dépassées.
    En fait, on pourrait dire le contraire ! Je cite le site en question :
    "La réponse à la question ne peut donc pas être calculée, et le N-ième bit de Ω non plus. Cela ne veut pas dire que les bits de Ω ne sont pas définis et déterminés mathématiquement, mais plutôt qu'il n'existe pas d'algorithme à nombre fini d'étapes pour les calculer, et que la connaissance des N premiers bits de Ω n'aide strictement en rien à la détermination des suivants."

    Autrement dit, cette fonction de Chaitin ne peut pas être construite, elle n'existe que symboliquement.
    C'est un peu comme si on disait : j'ai rêvé que j'ai gagné au loto, donc l'existence d'un univers dans lequel je gagne au loto existe ...
    Comme le dit Robert et ses amis, il faut savoir ce qu'on entend par "existence".
    A priori, en mathématiques, on ne sait pas produire le hasard autrement que par une fonction pseudo-aléatoire. Pour moi, le hasard, c'est un concept symbolique, on ne peut pas le produire, on peut juste définir ses propriétés et en parler. C'est pareil pour l'infini.
    Et donc la discussion sur l'autre fil reste bien entendu pertinente.

    Cordialement,
    Argyre

  5. #4
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Cette fonction existerait si on la définit comme ceci : donner les décimales successives d'un nombre "aléatoire".

    Mais, on ne fait que déporter le problème car il faut maintenant trouver un tel nombre.

    Le nombre omega de Chatain est bien aléatoire cependant ce nombre est incalculable, bien qu'ayantu une définition précise, c'est à dire, donc, qu'il n'existe pas de fonction permettant de le calculer. Je suis d'accord avec toi, tout cela est assez abstrait

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Petithassane

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Mais alors Chaitin n' a rien trouvé.
    Qu ' il garde pour lui sa prose mathématique!

  8. #6
    spi100

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Mais alors Chaitin n' a rien trouvé.
    Qu ' il garde pour lui sa prose mathématique!

    Tu es un peu dur avec Chaitin, c'est de la prose forcemment car l'article que tu cites est un article de vulgarisation. Mais effectivement Turing avait défini un nombre incalculable bien avant Chaitin. Ceci étant dit, le nombre de Chaitin n'est pas le coeur de sa théorie, ça en est juste une illustration.

    L'idée que Chaitin a introduit, est que si tu connais un algorithme qui te donne une suite alors tu réalises une compression de ce nombre.

    Par exemple pour le nombre pi, il te faut une infinité de décimales pour l'écrire, donc a priori il faudrait une mémoire infinie pour le stocker dans un ordinateur. Néanmoins on connait des programmes de calcul qui peuvent te donner n'importe quelle décimale de pi, à condition d'être patient et de laisser tourner suffisament longtemps le programme. Comme ce programme ne fait qu'une centaine d'octets, pour stocker pi dans ta machine, il te suffit de stocker ce programme. En termes imagés, toute l'information nécessaire à la construction de pi est contenu dans 100 octet, et le programme peut être vu comme une représentation compressée.

    Dans le cas du nombre de Chaitin, ou de n'importe quel suite aléatoire de nombres, il n'existe pas de programme permettant de la générer. Tu es donc obligé, si tu veux stocker un tel nombre, de stocker toutes les décimales, et là il te faut une mémoire infinie. Ces suites ne sont pas compressibles.

    C'est autour de cette idée que Chaitin a bati sa théorie algorithmique de l'information. Il y a d'autres approches comme celle de Löft-Martin, mais celle de Chaitin se détache par sa simplicité conceptuelle.
    GCS/S s: a C++ DI++>+++ UL++A++HIS++$ P++>+++$ E+>++$ W+>++$ N+ Y+ e++++ t+++ y+++

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  10. #7
    Petithassane

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Mais Chaitin parle d' un programme P a N bits, pour lequel il voudrait définir une fonction K. Laquelle fonction aurait pour but de déterminer le Kième bit de P. Et d' après ce que j' ai cru comprendre, s' il trouve cette fonction, le Kième bit est indéterminable. C' est à dire qu' on ne peut pas dire si ce sera un "0" ou un "1", bien que tout aura été déterminé à l' avance.

    Un truc du style 2§3 = parfois "0" parfois "1". Sans qu' on puisse le prévoir à l' avance.

    Un "pile ou face" mathématique !

    C' est ça qui intéressant dans son article : Est ce que le "pile ou face" mathématique existe ?

    Du reste le titre de son article est :
    LE HASARD DES NOMBRES.

  11. #8
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Est ce que le "pile ou face" mathématique existe ?
    Oui mathématiquement mais physiquement on ne sait pas.

    Par physiquement, j'entends que tu ne peux pas trouver un moyen de le générer cet hasard mathématique.

    C'est un peu comme l'infini, mathématiquement il existe mais physiquement on a aucun moyen d'en être sur.

  12. #9
    Petithassane

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Question sur les nombres aléatoires.
    Pi est aléatoire.
    Pi a la valeur qu' on lui connait, si on peut dire ça, dans un espace euclidien.
    Dans un espace non euclidien, je crois que la valeur de Pi change. Ne pourait-on pas trouver un espace non euclidien, où Pi aurait une valeur "travaillable", où il serait moins compliqué. Ce Pi on l' appellerait Pi-gé, je dis ça comme ça, au hasard.
    Et puis dans un deuxième temps, on essairait d' aborder Pi, par le biais de Pi-gé.
    Est ce possible ou non ?
    Quelqu' un y a t-il déjà pensé ?

    On ne va tout de même pas se laisser embéter par un pi qu' on peut pas écrire. Il y a trop de chiffres et il est incompréssible.

    En physique quantique, la particule de temps la plus petite est le chronon : 4,5 10 puissance moins 44 secondes. Le big bang aurait eu lieu il y a 13,7 milliards d' années. Si depuis ce temps là, on avait écrit un chiffre de pi par chronon écoulés, on n' aurait toujours pas fini d' écrire pi. D' une certaine manière, du début du monde jusqu' à la fin du monde, on ne peut pas écrire pi.
    Alors moi, je pose la question : existe-t-il vraiment pi ? Ne serait ce pas plutôt une illusion, une vue de l' esprit ?

  13. #10
    GrisBleu

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Salut

    Si tu ne crois pas a l existence des nombres non decimaux, ca va pas etre simple: 0.33333...=1/3 existe t il pour toi ? D ailleurs R est, selon toi, quasiment non existant (vu le peu de nombres decimaux).
    pi est defini et calculable (cf poste spi100) ; le nombre de chatin est defini (a un langage informatique pres) mais non calculable. Mais ces deux la ne peuvent etre ecrit devant toi en un temps fini, je te l accrode mais pas de raison de nier leur existance (ou alors fini les calculs dans R, c est possible mais pas pratique)

    ++

  14. #11
    invité576543
    Invité

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par jreeman Voir le message
    C'est un peu comme l'infini, mathématiquement il existe mais physiquement on a aucun moyen d'en être sur.
    Bonjour,

    Pour l'infini, il est clair qu'il "existe" en mathématique uniquement parce qu'on postule son existence: c'est un postulat explicite de ZF.

    Cela veut dire au passage que dire "l'infini existe en mathématique" est tout aussi "vrai" que dire "l'infini n'existe pas en mathématique", dans la mesure où on peut bâtir une branche alternative des mathématiques en prenant un postulat niant l'infini.

    En fait, pour être rigoureux, on peut dire "il existe une théorie mathématique postulant l'infini et qui n'est pas contradictoire". Mis à part le fait que je ne sais pas si c'est démontré (1), il s'agit bien là d'une existence physique, l'existence d'un système formel comprenant quelque chose que nous comprenons comme manifestant l'infini.

    Pour revenir aux "nombres aléatoires", je reste sur l'idée (malgré la réponse de Spi sur l'autre fil) que c'est une conséquence du postulat (et c'est un postulat) introduisant les ensembles non dénombrables, via la construction de R. En effet, l'ensemble des algorithmes est dénombrable et donc strictement plus petit que R, et il y a donc nécessairement des nombres non calculables.

    En sortir un est intéressant en soit, mais cela n'amène rien par rapport au "les nombres réels" existent, ou encore "il existe un ensemble non dénombrable". Ce qui ramène effectivement, non pas à l'existence de l'infini, mais celle de l'infini non dénombrable...

    Cordialement,

    (1) Pour que cela ait un sens, il faudrait déjà que l'ensemble des axiomes fondant ladite théorie soit fini!

  15. #12
    invité576543
    Invité

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    Si tu ne crois pas a l existence des nombres non decimaux, ca va pas etre simple: 0.33333...=1/3 existe t il pour toi ? D ailleurs R est, selon toi, quasiment non existant (vu le peu de nombres decimaux).
    pi est defini et calculable (cf poste spi100) ; le nombre de chatin est defini (a un langage informatique pres) mais non calculable. Mais ces deux la ne peuvent etre ecrit devant toi en un temps fini, je te l accrode mais pas de raison de nier leur existance (ou alors fini les calculs dans R, c est possible mais pas pratique)
    Mais d'une certaine manière on ne fait jamais des calculs dans R.

    Ce qu'on appelle un calcul est toujours une suite finie de symboles. Aucun moyen de faire autrement, même avec tous les ordinateurs du monde en réseau!

    Ce qu'on appelle des "calculs dans R" ne sont que des calculs symboliques, dont les symboles représentent quelque chose de fini pris dans un ensemble R qui, lui, n'existe que comme postulat.

    Cordialement,

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    le nombre de chatin est defini (a un langage informatique pres) mais non calculable
    Définir un nombre se fait nécessairement par une chaîne de symboles finie. C'est vrai de 1/3 comme de pi, comme d'un nombre de Chaitin. Ce n'est pas le nombre de nombres décimaux qui est limité, mais le nombre de réels définissables. On ne peut définir qu'au plus une quantité dénombrable de réels.

    Maintenant on peut se poser la question de la notion de "définition" ou de description d'un nombre réel. Il me semble que ce qu'on doit attendre d'une définition est au minimum qu'elle soit non ambiguë. Le minimum raisonnable semble être de pouvoir conclure sur la simple égalité x=y, x et y étant "définis". Un problème (mais en est-ce un?) de cette approche est qu'elle ne s'applique qu'à deux définitions. Mais s'il est impossible de conclure x=y, alors ne peut-on pas raisonnablement dire que l'une des deux définitions est insuffisante? Sait-on conclure sur l'affirmation "nombre de Chaitin = pi"? Si la réponse est non, il semble raisonnable de conclure que l'une des deux définitions n'en est pas une... Il n'y a plus qu'à choisir

    Cordialement,

    PS: Et si on peut conclure avec pi, on peut toujours passer à frac(125698*C)=frac(pi), C étant un nombre de Chaitin...

  18. #14
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    En fait, pour être rigoureux, on peut dire "il existe une théorie mathématique postulant l'infini et qui n'est pas contradictoire". Mis à part le fait que je ne sais pas si c'est démontré (1), il s'agit bien là d'une existence physique
    Effectivement, mais je crois avoir compris qu'il existe un théorème de logique affirmant, qu'il n'est pas impossible de démontrer qu'une théorie n'est pas contradictoire. Et donc que rien nous empeche un jour de tomber sur deux énoncés d'une théorie se contredisant l'un l'autre.

  19. #15
    GrisBleu

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Définir un nombre se fait nécessairement par une chaîne de symboles finie. C'est vrai de 1/3 comme de pi, comme d'un nombre de Chaitin. Ce n'est pas le nombre de nombres décimaux qui est limité, mais le nombre de réels définissables. On ne peut définir qu'au plus une quantité dénombrable de réels.
    le nombre de chatin est bien defini (avec une certaine suite de mot, je suis d accord) une fois un langage informatique donne. Il ne depend (je crois) d un axiome du genre "il existe un nombre de chatain" par contre je ne sais pas pour sa non calculabilite.
    Je croyais que la critique de Petithassane sportait sur l impossibilite d ecrire un nombre decimal en un temps fini (et non d ecrire sa definition).

    Sinon effectivement on ne calcule pas dans R (les PC ne le font pas en memoire, encore que maple et ma TI89...), mais c est quand meme pratique de l utiliser: ne travailler que sur les nombres calculables doit suremebt poser des problemes dan un tas de demo d analyse (quand il y a des limites j imagine). Un exemple de chose pire: travailler avec les distributions, c est travailler avec des choses horribles du point de vue "concret" car ce sont des fonctions (tu connais deja, c est juste pour insister sur la difference chose utile / chose utile et concrete)pourtant un tas de theories ont bases dessus... (meme les ingenieurs doivent l utiliser - sans le savoir souvent, mais bon)

    A + mmy

  20. #16
    spi100

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    estant l'infini.

    Pour revenir aux "nombres aléatoires", je reste sur l'idée (malgré la réponse de Spi sur l'autre fil) que c'est une conséquence du postulat (et c'est un postulat) introduisant les ensembles non dénombrables, via la construction de R. En effet, l'ensemble des algorithmes est dénombrable et donc strictement plus petit que R, et il y a donc nécessairement des nombres non calculables.

    C'est une évidence qu'il y a des nombres non algorithmiques, l'argument de puissance d'ensemble que tu donnes est largement suffisant.
    Mais ce n'est qu'une preuve d'existence, qui ne permet pas d'exhiber un élément. Le propos de la théorie de Chaitin est au-delà de la simple preuve que cet ensemble est non vide. Il s'agit de déterminer un critère sur la suite des entiers qui le composent tel que si ce critère est vérifié alors je peux affirmer "en un certain sens" que cette suite est alétoire.

    Chaitin définit la notion de mesure de complexité , de suite compressible et démontre que si la suite est incompressible alors cela implique

    1/ que l'on ne peut pas prédire le rang n, connaissant les n-1 éléments précédents.
    2/ Il n'exite pas de régularité décelable par des mesures de corrélations dans la suite.

    Ce qui correspond bien à l'intuition que l'on se fait d'une séquence aléatoire. Ca définition implique le hasard, maintenant il n'est pas exclut que la condition d'incompressibilité soit beaucoup trop forte.
    GCS/S s: a C++ DI++>+++ UL++A++HIS++$ P++>+++$ E+>++$ W+>++$ N+ Y+ e++++ t+++ y+++

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par spi100 Voir le message
    Ce qui correspond bien à l'intuition que l'on se fait d'une séquence aléatoire.
    Ce n'est pas une intuition. Si je pars des probas, on parlera d'indépendance entre valeurs successives, et la notion d'indépendance est défini explicitement comme l'absence de corrélation. On parle de la même chose avec des mots différents, il me semble.

    Le passage d'une suite de valeurs indépendantes à la notion de tirage "au hasard" demande une hypothèse d'ergodicité. C'est d'ailleurs un point très important, incontournable si on veut relier suites indépendantes et "hasard".

    Ca définition implique le hasard.
    Cette phrase est imcompréhensible pour moi. Je ne comprend ni le mot "impliquer" dans ce contexte, ni le mot "hasard".

    Entendons-nous, j'imagine ce que tu veux dire, mais ça reste très "métaphysique" pour moi. Je ne sais pas transformer la phrase en quelque chose de formel ou d'opérationnel.

    Cordialement,

  22. #18
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par mmy
    Le minimum raisonnable semble être de pouvoir conclure sur la simple égalité x=y, x et y étant "définis". Un problème (mais en est-ce un?) de cette approche est qu'elle ne s'applique qu'à deux définitions. Mais s'il est impossible de conclure x=y, alors ne peut-on pas raisonnablement dire que l'une des deux définitions est insuffisante?
    Quand on projette ce que l'on pourrait obtenir, ce serait des choses du genre :

    = .

    Pas très intéressant, je suis plutot d'accord
    Dernière modification par invite7863222222222 ; 18/01/2007 à 14h08.

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  24. #19
    spi100

    Re : Chaitin et la fonction pile ou face

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Ce n'est pas une intuition. Si je pars des probas, on parlera d'indépendance entre valeurs successives, et la notion d'indépendance est défini explicitement comme l'absence de corrélation. On parle de la même chose avec des mots différents, il me semble.

    Le passage d'une suite de valeurs indépendantes à la notion de tirage "au hasard" demande une hypothèse d'ergodicité. C'est d'ailleurs un point très important, incontournable si on veut relier suites indépendantes et "hasard".
    Ce que tu dis, c'est que l'on doit considérer des tests effectifis sur la suite pour déterminer si la suite est aléatoire ou non.
    Ensuite la question est : quels sont les tests nécessaires pour pouvoir l'affirmer ?

    C'est justement Martin-Löf qui a donné la condition nécessaire que doit vérifier l'ensemble de ces tests.

    Ensuite on a montré qu'il y avait équivalence totale entre l'approche par tests effectifs de Martin-Löf et celle de Chaitin.
    Donc effectivement nous parlons peut-être tout deux de la même chose, si tu accceptes l'approche de ML.

    Cette phrase est imcompréhensible pour moi. Je ne comprend ni le mot "impliquer" dans ce contexte, ni le mot "hasard".

    Entendons-nous, j'imagine ce que tu veux dire, mais ça reste très "métaphysique" pour moi. Je ne sais pas transformer la phrase en quelque chose de formel ou d'opérationnel.

    Cordialement,
    Oui, à me relire, cette phrase est vraiment malheureuse. Lit plutot : le critère de Chaitin implique bien les propriétés que l'on attend d'une suite aléatoire.
    GCS/S s: a C++ DI++>+++ UL++A++HIS++$ P++>+++$ E+>++$ W+>++$ N+ Y+ e++++ t+++ y+++

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