pile ou face sur une mole de pièces

[mach3]

Bonsoir,

je suis en train de préparé un séminaire sur la thermodynamique et voulant introduire l'entropie par des concepts statistique facile à appréhender, je souhaite faire des exemples avec des pile-ou-face effectués avec un nombre de pièces de plus en plus élevé. Ceci pour montrer qu'avec un nombre énorme de pièces (6.10²³ par exemple), on trouve des résultats quasiment identiques et prévisibles à chaque jet (en termes de proportion de pièce sur pile et de pieces sur face) malgré le caractère aléatoire de ce jet de pièce.

Mon but est de montrer que 90 ou 95 ou 99% des résultats sont concentrés sur une gaussienne qui s'affine avec le nombre de pièces, mais je manque de connaissance en statistique et en combinatoire pour le faire proprement. Comment puis-je trouver la probabilité d'une combinaison (un jet dont le nombre de piece sur pile est x et le nombre de piece sur face est y, avec x+y le nombre de piece) autrement qu'en faisant du dénombrement (je me vois pas dénombrer 6.10²³ pièces )? Y-a-t'il des formules ou des moyens de trouver ces formules?

merci d'avance

m@ch3
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[mach3]

bon, alors après un peu de recherches à droite à gauche, je vais commencer à me répondre moi meme. si quelque chose est inexacte ou si vous quelque chose à ajouter, n'hésitez pas.

Alors, j'ai trouvé que pour n pièces, le nombre de combinaisons dans lesquelles p pièces sont sur pile est

problème, ma calculette coinque quand je dépasse 70!, donc pour 6.10²³ c'est plutot mal barré...

J'ai vu ailleurs des trucs à propos de la loi normale et j'ai l'impression que mon problème suit cette loi normale. Comment je peux procéder à partir de là pour délimiter les combinaisons médiane qui représentent 90 ou 95% des probabilités?

merci

m@ch3

[invite6413d96e]

Moi je ne suis pas un expert, mais la loi de poisson serait peut-être plus approprié pour un nombre aussi grand.

Cette loi est dérivée de la normale si je ne me trompe pas...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Poisson

(si ça peut t'aider)

[Médiat]

Je ne suis pas un expert, donc je te conseille de douter de mes affirmations :
Pour une loi normale 95% de la populations est dans l'intervalle. Pour 99% l'intervalle est
avec = moyenne et = écart-type

Si ta loi binomiale est assimilable à une loi normale, sa moyenne est N/2 et son écart-type , et donc ton intervalle pour 95% : .

Vérifie tout, mais j'espère que cela te donnera une piste...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

la loi de Poisson est limite de lois binomiales B(n,p) quand et . Dans le cas des pièces, il faudrait plutôt utiliser la loi normale. Tu connais la moyenne et la variance où est le nombre d'Avogadro, donc tu obtiens facilement les quantiles.

[mach3]

merci les gars, je vais tester ça

m@ch3

[mach3]

bon, j'ai testé, mais ça colle pas... l'ordre de grandeur est bon, mais le résultat avec la loi binomial (calculé a l'arrache avec une feuille excel) semble s'éloigner de plus en plus de celui de la loi normale. Quelqu'un a une meilleure idée d'approximation? sinon ca devrait le faire avec ça, mais ce n'est pas très rigoureux...

merci

m@ch3

[invite79d10163]

Bonjour,

Il y a le "theoreme central limite" qui dit en simplifiant qu'une somme de variable aléatoire indépendantes (le résultat du jet de pieces distinctes par exemple) dont le nombre tend vers l'infini suit une loi de probabilité normale.

[invite986312212]

pourquoi ça colle pas? c'est pas normal

[invite9f74ae56]

Bonjour,
en fait, si tu apelles f la frequence d apparition du pile, alors la variable U=(f-p)/sqrt(p(1-p)/n) suit une loi normale centrée réduite, c'est le théorème central limit
ou je note p la probabilité d 'obtenir pile et n le nombre de lancers.
donc tu regardes dans des tables de la loi centrale le nombre u1 tel que P(-u1<U<u1)= 0.9 ou 0.95 ou 0.999 suivant ce que tu veux comme précision, et comme ca tu sauras quel intervalle de valeur prend f avec quel probabilité

[mach3]

ben ca marche en fait!! cool, en fait dans mes tests j'ai pris 99% alors que c'est 99,74%, c'est pour ça que ca collait pas. maintenant ça converge bien vers la loi normale comme prévu.

merci à tous pour vos contributions

m@ch3