Pile ou face ?

[invitea3eb043e]

Bonjour,
Un petit problème qui me turlupine et dont je n'ai jamais vu d'approche :
Quand on lance en l'air un cylindre plein, il peut retomber sur une des faces circulaires ou sur le flanc. Si le diamètre est grand devant la hauteur (ex : pièce de monnaie), il tombera sur une face. Si la hauteur est grande devant le diamètre (ex : aiguille), il retombera sur le flanc.
Question : Pour quel rapport diamètre/hauteur a-t-il 50% de chances de tomber sur le flanc et 50% de chances de tomber sur une face ? Et comment justifier le résultat ?

Aucune idée de la réponse.
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[invitee16ff47e]

Je dirais 1.732 pour le rapport diamètre-hauteur.

Et pour la justification: j'imagine que le cylindre retombe sur la face si c'est la face qui est la verticale du centre de gravité. Ca doit pas etre très dur a montrer. Reste un petit calcul de géométrie, j'ai pu me tromper...

[invitea3eb043e]

Pas sûr d'avoir pigé.
Si le cylindre tombe incliné d'un angle alpha (angle entre la face et le lan), on peut imaginer que alpha est aléatoire et que les 50% de chances sont atteintes quand le centre de gravité est à l'aplomb du coin qui touche et que alpha vaut 45°. Mais alors diamètre = hauteur.
D'où vient le 1.732 ?

[invitee16ff47e]

si alpha est l'angle entre l'axe du cylindre et la verticale, alors la distribution de probabilité de alpha n'est pas uniforme, mais proportionnelle a sin(alpha): c'est l'élément d'angle solide. Donc la probabilité 50% correspond en fait à cos(alpha)=1/2. Euh j'espère être assez clair, il se fait tard...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00411460]

Pas sûr d'avoir pigé.
Si le cylindre tombe incliné d'un angle alpha (angle entre la face et le lan), on peut imaginer que alpha est aléatoire et que les 50% de chances sont atteintes quand le centre de gravité est à l'aplomb du coin qui touche et que alpha vaut 45°. Mais alors diamètre = hauteur.
D'où vient le 1.732 ?

je suis entièrement d'accord avec ce raisonnement. le fait que ce soit un cylindre permet de transposer le problème 3D en problème 2D.
le cylindre touche le sol en formant un angle alpha qui va de 0° à 90° (0° = face discale contre le sol, 90° = face latérale contre le sol).
il faut donc que le cylindre se couche pour un angle supérieur à 45°. et donc si on fait un petit schéma que tg(45°) = d/h (d = diamètre, h = hauteur).

soit d = h

[invite00411460]

mais je me trompe peut-être

si on subdivise la circonférence du cylindre en n parties (n tendant vers l'infini), il y a n positions possibles où le cylindre tombe pile poil sur sa face disquale, et n positions possible où il tombe pile poil sur sa face latérale. en fait pour chaque angle alpha il y aura toujours n positions possibles.

donc je pense bel et bien que d = h

maintenant il faudrait pour être précis se demander si les précédents rebonds détruisent ou pas cette équiprobabilité des angles lors du dernier rebond. pas facile

[invitee16ff47e]

le cylindre touche le sol en formant un angle alpha qui va de 0° à 90° (0° = face discale contre le sol, 90° = face latérale contre le sol).
il faut donc que le cylindre se couche pour un angle supérieur à 45°

Ce "donc" est un peu rapide... il suppose que la loi de probabilité de l'angle alpha est uniforme, ce qui n'est pas le cas. Il est beaucoup plus probable d'avoir alpha entre 89 et 90 degrés qu'avoir alpha entre 0 et 1 degré. C'est comme pour la latitude en géographie.

[invitea3eb043e]

On devrait suggérer cela comme sujet de TPE, avec des essais ...

[invite8c514936]

Après mûre réflexion, je me range de l'avis de J.yves. Ce qui compte c'est effectivement la probabilité qu'en tirant un angle solide au hasard depuis le centre d'inertie du cylindre, on tombe sur une face ou sur le bord. Or l'angle solide sous lequel sont vues les deux faces planes depuis le centre d'un cylindre de rayon R et de hauteur H est

où l'angle vérifie

On veut que (la moitié de l'angle solide total), ce qui donne finalement et donc , et finalement le diamètre vaut bien fois la hauteur...

[invitea3eb043e]

Attention : le cylindre ne tombe jamais sur une face ou une génératrice, toujours sur une arête ! Il faut voir comment il tombe ensuite.

[invite8c514936]

Précisément. Il tombe sur une arête, et si on s'intéresse pile au moment où cette arête touche le sol, le petit calcul de proba précédent s'applique, non ? (je ne crois pas que le mouvement ultérieur de pivotement éventuel autour de l'arête joue vraiment, car le pivotement est équiprobable dansles deux sens, me semble-t-il).

[invitee16ff47e]

Le sens de pivotement dépend du moment des forces de gravité au point de l'arête où s'effectue l'impact, c'est à dire encore de la position de la verticale issue du centre de gravité : le solide va retomber sur la face qui intersecte cette verticale : c'était ce que je voulais dire dans mon tout premier message, mais je n'ai pas été assez explicite, pardon.

[invitea3eb043e]

Intéressant, tout ça. Effectivement, regarder dans quel sens le cylindre va basculer quand il tombe verticalement, c'est bien. Histoire de rendre la question plus vicieuse : est-ce que ça marche encore quand le cylindre tombe en tournant autour d'un axe quelconque ?
Trop dur !... J'aimerais bien savoir si quelqu'un a déjà essayé de faire des expériences.

[invitee16ff47e]

Même sans aller jusqu'à faire tourner le cylindre, c'est sûrement plus complexe si on considère des chocs un peu élastiques... ce que j'ai dit était valable pour un choc mou, mais si le cylindre rebondit alors c'est beaucoup plus compliqué, et aussi moins intéressant, parce que la réponse va sans doute dépendre du coefficient d'amortissement.

[inviteeecca5b6]

Ben en fait si le cylindre rebondi ca change rien... Au final, lors du dernier rebond, le plus faible, on revient au meme problème...