Dévelopements limités

[invite56b437b2]

Bonjour, j'aurais besoin de l'aide de quelqu'un pour essayer de comprendre les développements limités car je ne vois pas bien à quoi cela correspond.
Ce que je pense savoir déjà : un DL est une forme sous laquelle on "converti" une expression en un polynome et une fonction appelée o(xⁿ).
Si quelqu'un pouvait apporter un complément cela m'aiderais beaucoup ou rectifier.
Par exemple comment obtenir un DL d'une expression ?.
Des DL me sont donnés tels que celui de e^x ou encore celui de cos(x) ou sin(x) etc.. mais j'aimerais bien comprendre comment arriver à cette expression.
Merci d'avance.
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[theguitarist]

bonjour,

effectivement les DL sont les approximations polynomiales de fonctions telles que l'exponentielle etc...

par exemple :

la somme des terme de la suite x^n vaut [1-x^(n+1) ]/[1-x] (conformément à la formule)
donc : 1/(1-x) = 1+x+x²...+x^(n+1)/(1-x)=1+x+x²...+o(x^n)

voilà comment on trouve par exemple le DL de 1/(1-x)

des formules peuvent aider, comme celle de Taylor Young, taylor avec reste intégral etc ! si tu coinces pour trouver un DL d'une fonction, parfois (je dis bien parfois) il peut être pratique de dériver ta fonction, et de tomber sur une dérivée qui a un développement limité plus facile à obtenir, donc tu le trouves et tu intègres ce DL pour avoir celui de ta fonction de départ ! Ceci n'est qu'une astuce parmi d'autre à toi d'être judicieux retiens aussi que les compositions sont possible : si DL1 et le DL de f, DL2 celui de g, alors celui de f+g est DL1+DL2. Enfin théoriquement le cours sur les DL dit tout ça !

pour l'exponentielle je me souviens plus de la méthode exacte, mais à quoi bon se casser la tête, avec la formule de Taylor Young tu trouves rapidement son DL en 0.

bref en fait pour trouver les DL d'une fonction, le but du jeu c'est de se ramener à une expression connue (en dérivant, intégrant, ou en faisant un changement de variable...) ou d'utiliser une formule du cours ! le petit hic c'est que tout ça oblige à connaitre par cœur les DL de nombreuses fonctions ^^ mais bon elles sont pas si nombreuses que ça au final héhé !

j'espère que ça a pu un peu t'aider

[theguitarist]

ha oui puis pour le petit plus, un développement limité peut servir à de nombreuses choses !

parfois il est dur d'étudier des fonctions en certains point, tel que des limites par exemple ! les DL permettent bien souvent de facilité la tâche! c'est pour cela qu'on les utilise! voilà voilà ^^

[invite0a963149]

Attention les DL sont bien une approximation, mais en un point donnée !!

avec un grapheur tu pourras vérifier cela

par exemple est une approximation de mais seulement au voisinnage de 0 !!

Egalité de Taylor-Young : DL en 0 de f : si f est C^n

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56b437b2]

Merci à vous deux surtout à "TheGuitarist" tu m'as beaucoup aidé avec tes explications .

[invite56b437b2]

J'ai une autre question pour vous encore . Je viens de voir les formules de Taylor puis de Taylor-Lagrange puis de Taylor-Young mais j'ai l'impression qu'elles sont presques pareil juste un terme qui change de nom alors je ne comprend pas..

[invite0a963149]

ben c'est plus ou moins les mêmes, Taylor Young est pratique, surtout en physique (les physiciens prennent même pas la peine de gérer le o)
taylor Lagrange est utilisé dans des cas spécifiques, par exemple certaines équation différentielles

[invite2b608ad1]

La vrai différence pour les mathématiciens c'est que la formule de Taylor-Young est une formule "local" tandis que la formule de Taylor-Lagrange est une formule "globale". En effet, dans T-L on connait le reste donc l'égalité est vérifié quelque soit x puisque l'énoncé dit il existe c compris entre 0 et x on peut pour chaque x en trouver un sans modifier la partie régulière. Par exemple, pour calculer une limite on utilise T-Y alors que pour étudier les extrema d'une fonction sur un intervalle donné on utilise T-L.