Si f' a une limite finie en b alors f a aussi une limite en b

[invite46e41aed]

Bonjour,
suite à quelques problèmes sur l'utilisation du théorème de la limite monotone, je me permet de poster ici :

Soient a,b des nombres réels tels que a<b et f [a,b[--->R dérivable
Démontrer que si f' a une limite finie en b alors f a aussi une limite en b.

Voici ma réponse:
Supposons que f' ait une limite finie en b, donc il existe L tel que que f'(b-)=L. (Notation f'(b-): limite à gauche en b)
Supposons L différent de 0.
Si L>0, alors f' est à valeurs >0 au voisinage de b donc au voisinage de b, f est strictement croissante, donc d'après le théorème de la limite monotone, f(b-) existe et est fini. (c'est là le problème, je ne suis pas certain de la justesse de l'argument)

Pour le cas L<0 on remplace "strictement croissante" par "strictement décroissante".
Pour le cas L=0, je vois le résultat, mais je ne sais pas comment le rédiger.

Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement,
Nowotny.
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[Tiky]

Bonjour,

La seule propriété utile sur la dérivée ici est le fait qu'elle soit bornée sur car elle se prolonge en une fonction continue sur le compact .
Donc si tu considères une suite qui converge vers b, montre que :
- est une suite de Cauchy.
- converge vers un réel qui dépend à priori de la suite considérée.
- Montre que la limite ne dépend pas de la suite et on peut alors conclure.