Bonjour, je bloque sur un exo, c'est surement simple mais je ne vois pas trop, alors si vous pouviez m'aider...
Soit
Il faut étudier sa convergence simple.
J'ai dit que pour x>1 et x<-1, la fonction tendait vers l'infini donc pas de CS
Mais pour -1<x<1, je ne vois pas comment faire, je voulais utiliser le critere special des series alternées au début mais la fonction n'est pas décroissante !
erreur désolé
Pour x dans ]-1,1[, que peux tu dire de la série? Ne peux tu pas conclure en majorant (en valeur absolue)
Reste ensuite à étudier des cas x=1 et x=-1, qui sont deux séries très classiques
Bonjour,
J'ai essayé de majorer mais en majorant la valeur absolue de x par 1 je trouve :
qui est le terme d'une série divergente, je ne peux donc rien conclure !
Bonjour.
Si tu connais déjà les séries entières, il te suffit de regarder ce qui se passe pour x<0, car ta série s'écrit encore :
Si tu ne connais pas, il va falloir étudier les différents cas :
* x<-1 ou x>1 : le terme général ne tend pas vers 0 (preuve à faire), donc ... Attention, pour x>1 : On ne peut pas dire que la somme partielle tend vers l'infini : les termes sont de signes alternés en en valeur absolue de plus en plus grands, la somme n'a pas de limite.
* -1<x<0 le critère de d'Alembert devrait fonctionner
* x= 0; x=-1;x=1. Etude à faire.
* 0<x<1 : tu peux soit utiliser le critère des séries alternées, soit regarder la convergence absolue.
Bon travail !
NB : pour utiliser le critère des séries alternées, il faut que la série soit vraiment alternée, ce qui n'est pas le cas ici pour x<0.
L'idée de Tryss de comparer à une série simple pour utiliser la convergence absolue est plus directe. mais regarder les différents cas peut être un bon apprentissage.
Cordialement.
Bonjour, merci pour ta réponse, mais je ne vois toujours pas pour les cas 0<x<1 et -1<x<0 car
pour 0<x<1, la fonction
Simple :
Pour
Or
Donc
Ah oui, plutôt simple en effet, je ne sais pas pourquoi je voulais absolument faire disparaitre les x pour la majoration !
Merci beaucoup en tout cas ! Bonne soirée.
Aucune importance ! Ce n'est pas x qui nous intéresse, pour la convergence simple c'est une constante. C'est la suitepour 0<x<1, la fonctiontend vers 0 quand n tend vers l'infini mais n'est pas décroissante !
Cordialement.
(*) au moins pour tout n assez grand.
Une dernière petite question si vous êtes toujours là : si je passe par les séries entières en disant que ma série de fonctions est en fait égale à -ln(1+x) , est-ce que je peux conclure quant à la convergence simple ?
Peut-être en redémontrant que son rayon de convergence est 1 ?
Ah, si tu utilises les séries entières, c'est tellement plus simple ! Il suffit de regarder ce qui se passe pour x=1 et x=-1. du coup tu as la convergence normale sur tout intervalle [-a, a] pour 0<a<1 qui te permet de conclure sur la convergence simple.
Et si en plus tu identifies à une série connue, tu n'as plus qu'à regarder le rayon de convergence (*) et appliquer les règles classiques.
Cordialement.
(*) si la série est connue, son rayon de convergence aussi. Rien à "redémontrer".
Ok merci beaucoup (la convergence normale est justement l'objet de la 2ème question, je ne peux donc pas l'utiliser pour la convergence simple)
