Suite de fonctions, convergence simple !

invitea316b35d · 12/12/2011, 21h00

Bonjour à tous !
Je viens quérir votre aide !
Voilà bien une heure que je penche sur un exercice... Et j'ai beau tout retourné dans tous les sens, je ne vois pas.

Le problème s'énonce simplement :

$\text{[math]}$ pour t >=0

Déterminer la limite simple des fonctions fn...
Quelqu'un aurait-il une piste ...? Une méthode que je pourrais exploiter.. Car, je n'abouti a rien.. Hormis des constations qui ne me font pas avancer..

Merci !

invite57a1e779 · 12/12/2011, 22h01

On peut essayer de prouver que la suite de terme général $\text{[math]}$ est monotone et bornée.

invite3240c37d · 13/12/2011, 02h06

...........

invite3240c37d · 13/12/2011, 04h38

Autre façon ...

Pour $\text{[math]}$ la convergence est évidente puisqu'on a $\text{[math]}$ .
Soit alors $\text{[math]}$ et soit $\text{[math]}$ t.q. $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ . Montre que $\text{[math]}$ puisque :
$\text{[math]}$ ... etc .. :
...
On peut pousser plus loin et soit une fonction $\text{[math]}$ continue sur $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$
- si $\text{[math]}$ ,alors la convergence de $\text{[math]}$ est seulement simple sur $\text{[math]}$ , à cause de la non-continuité de la fonction limite en $\text{[math]}$
- si $\text{[math]}$ ,alors la convergence de $\text{[math]}$ est uniforme sur $\text{[math]}$ (la preuve est un peu plus compliquée) .

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