Problème densité - Analyse fonctionnelle

[invitebd7e3efa]

Bonjour,
Je suis bloqué sur ce problème :

Soit μ une mesure finie sur ([0,1]²,B_[0,1]²)
Montrer que C([0,1]²) est dense dans L²(μ).

On a vu le théorème de Stone Weierstrass qui nous permet de montrer qu'une algèbre de fonctions continues A C C(X,K) est dense dans C_U(X,K) en vérifiant un certain nombre d'hypothèse. Le problème que j'ai c'est qu'ici on n'est pas avec un ensemble C_U mais avec L²(μ) donc je sais pas comment utiliser ce théorème.

Merci d'avance
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[invite899aa2b3]

Bonjour,
tu peux montrer que tu peux approcher n'importe quelle indicatrice de borélien (pour la norme L^2) par une suite de fonctions continues (commence par les produits cartésien d'intervalles). Tu peux ensuite étendre aux fonctions simples, puis positives et enfin toutes les fonctions.