Détermination de valeurs propres

[FARfadet00]

Bonjour,

alors voilà, il y a pas longtemps en colle de maths je suis tombée sur un exercice d'algèbre. Malheureusement, il y a une question qui m'est restée très obscure, malgré les explications ... Je présente donc rapidement le problème :

On condidère l'ensemble E = {M _n() t.q. M²=I}
Soit M une matrice dans E, la question était de savoir quelles peuvent être ses valeurs propres.

Comme je bloquais complètement, le colleur m'a fait poser une application linéaire f et m'a demandé d'écrire ce que valeur propre de f signifiait. J'ai donc sagement donné la définition du cours : f(x)=x. Puis il m'a fait écrire l'égalité qui en découle f²(x)=²x. En remplaçant f²(x) par x on trouve alors =1 ou -1.

Magnifique ! Seulement, il ne m'a pas expliqué d'où sort f, ni quel est son lien avec M : est-ce qu'en fait on a posé f l'application dont la matrice caractéristique est M ? Je comprend pas trop ce lien entre la matrice et l'application ... Ce qui fait que la raison pour laquelle on peut ensuite remplacer f² par l'identité est un peu floue pour moi, même si je me doute que ça vient du fait que M soit dans E. De plus, le colleur m'a dit qu'il s'agissait d'une histoire de polynôme annulateur qui n'est pas au programme en BCPST (ma filière), mais qui serait quand même à connaitre un minimum.

Si quelqu'un pouvait m'aider à rendre cette question un peu moins floue, ça serait vraiment gentil
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Tu sembles être en classe prépa. Or en général, les matrices des applications linéaires sont clairement définies avec des bases choisies au départ. pour les matrices carrées, on peut se restreindre à des endomorphismes, et si la taille est nxn, même pour des endomorphismes de , la matrice étant déterminée par rapport à la base canonique.
Donc, un endomorphisme de E (e v de dimension n) étant donné, et une base de E étant choisie, il existe une matrice associée; réciproquement, la matrice étant donnée, il est facile de voir qu'elle est la matrice d'un endomorphisme de E dans cette base (c'est un excellent exercice de le prouver).
En d'autres termes, et en y ajoutant des propriétés, l'espace vectoriel des matrices nxn est isomorphe à celui des endomorphismes de E.

Mais tu as probablement tout ça éparpillé dans ton cours.

Cordialement.

[FARfadet00]

Oui, oui, je suis bien en prépa (bio).

Merci pour la réponse si rapide. Si je comprend bien, pour répondre à la question, il faut commencer par nommer l'endomorphisme de ⁿ associé à M, d'une part (ici noté f). Et d'autre part, M²=I revient à écrire f²=Id coté applications. C'est bien ça ?
Et sinon, en quoi a-t-on un polynôme annulateur ici ?

Merci d'avance

[gg0]

X²-1.
car
f²-I=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[FARfadet00]

Comme je l'ai dit, la notion de polynôme annulateur n'est pas à mon programme. D'après ce que vous écrivez il semble que ce soit un polynôme qui s'annule en f(x) quelque soit x réel. Correct ?

Et sinon, pouvez-vous me confirmer que ce que je raconte dans mon dernier message est juste ?

[gg0]

Si je comprend bien, pour répondre à la question, il faut commencer par nommer l'endomorphisme de ⁿ associé à M, d'une part (ici noté f). Et d'autre part, M²=I revient à écrire f²=Id coté applications. C'est bien ça ?

C'est ça. C'est d'ailleurs ce que tu as expliqué dans ton premier message.

Si tu ne sais pas ce qu'est un polynôme annulateur, je ne saisis pas bien le pourquoi de ta question. En tout cas ce n'est pas "un polynôme qui s'annule en f(x) quelque soit x réel", puisque f est un endomorphisme, pas une fonction numérique. C'est un polynôme qui est nul pour la valeur f.

Cordialement.

[FARfadet00]

Merci beaucoup