Bonsoir,
je suis en train d'apprendre mon cours sur les fonctions à deux variables réelles, et je me pose plusieurs questions:

- un mini-exo nous demande de trouver les fonctions qui vérifient (1) .
En rédigeant rigoureusement, j'en déduis qu'il existe . Plus simplement que la deuxième dérivée partielle de f ne dépend pas de x, mais est-ce que je peux l'écrire "à la physicienne" ?
Au vu de la régularité des fonctions recherchées, en appliquant le théorème de Swharz (égalité des dérivées croisées) j'obtiens que les fonctions C2 qui vérifie (1) ont leur dérivée première indépendante de x et leur dérivée seconde indépendante de y.
Une question encore, en écrivant celà je suppose que x est la première variable de f et y la seconde, n'est ce pas ?

- Dire qu'une fonction à deux vraiables réelle est de classe est il équivalent à dire que son gradient est continu ?
Et lorsque la fonction l'est, a t'on bien que sa différentielle en h coïncide avec sa dérivée directionnelle suivant le vecteur h ?

- Un exercice classique est de résoudre l'équation (2) où a et b sont des réels (si possible non nuls simultanément). Notre prof nous a rapidement détaillé (c'est un oxymore, mais en prépa ça prend tout son sens: on y a passé un peu de temps ^^) une résolution, mais a surtout insisté sur l'intuition: on regard en fait avec u un vecteur intelligemment choisi, qui traduit en fait une direction privilégiée du plan. Finalement on est ammené à faire un changement de variable pour se ramener au cas (1), en déduire une "idépendance" et à re-changer les variables. Finalement, dans le cas d'étude d'une fonction suffisamment régulière, on devrait pouvoir interpréter l'équation comme suit: (différentielle suivant u, mais je ne sais pas si ça a un sens car on a vu cette notation avec u en variable...) ou encore (dérivée directionnele suivant u de f). Du coup, on tombe sur une fonction qui est constante suivant cette direction, i. e de la forme , ce que je retrouve par le calcul.
Est-ce un raisonnement correct et intéressant ?

Je vous remercie d'avance de m'aoir lu, en vous priant de m'excuser de la "simplicité" des questions que je pose

Snowey