Adjoint d'un endomorphisme

[jules345]

Bonjour,

Voila j'ai un exercice sur les adjoints et je bloque à la 2e question.

Soit E un espace euclidien dont le produit scalaire est notée (.|.) et u un endomorphisme de E vérifiant

pour tout x appartenant à E (u(x)|x)=0

1) Montrer que u*=-u.

Pour cette première question j'ai considéré x et y deux éléments de E et j'ai calculé (u(x+y)|x+y) puis j'arrive à u*=-u

2)Montrer que Im(u) et Ker(u) sont supplémentaires

Pour cette question je sais que je dois démontrer que E=Ker(u)+Im(u) et l'intersection de Ker(u) et Im(u) est égale à {0} mais je n'y arrive pas surtout que j'ai du mal à voir comment faire intervenir l'adjoint ?

3) Montrer que le rang de u est pair

Merci à tous de vos réponses
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[silk78]

Bonjour,

Je suis d'accord avec la méthode pour le 1).

Pour le 2), un moyen très simple est de se rappeler les relations entre Ker(u), Im(u), Ker(u*) et Im(u*) dans un cas général. Puis en utilisant le fait que u=-u*, la question 2) sera évidente (tu montrereras même un petit peu plus que la supplémentarité). Vois-tu de quel relation je parle ?

Pour la 3), il pourrait être intéressant de s'intéresser aux valeurs propres de u.
Notamment, si λ est une valeur propre réelle de u, que peut-on dire sur λ ? De plus, u étant un endomorphisme réel, que peut-on dire de ses valeurs propres complexes ? Je te laisse conclure pour la suite.

Voilà, n'hésites pas à poser des questions si tu ne vois pas où je veux te faire venir.
Silk

[jules345]

Merci de ta réponse

Pour le 2) je sais que l'orthogonal de Ker(u) est égale à Im(u*) et l'orthogonal de Im(u) est égale à Ker(u*).

Je peux donc écrire que Im(u)=orthogonal de Ker(u*)

Après je ne vois pas trop comment procéder ?

Merci

[gg0]

u*=-u

A quoi sert d'avoir fait la question 1 ?

NB : Je suis nul en algèbre, je ne savais pas que Im(u)=orthogonal de Ker(u*), mais je lis l'énoncé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jules345]

Effectivement ,

Donc on obtient Ker(u)=Ker(u*)

Ok j'ai compris merci

Et pour la 3 je ne comprends pas très bien l'idée ?

Merci encore de votre aide

[silk78]

Ce que je proposais pour la 3), au moins la première partie : soit λ une valeur propre réelle de u, il existe donc x non nul appartenant à E tel que u(x)=λx. Étant donné les propriétés vérifiées par ton endomorphisme, peux-tu dire quelque chose sur λ ?

[jules345]

lambda est nul non ?

[jules345]

Re,

Je sèche

[gg0]

Pourtant tu as bien écrit une preuve, non ?
Ecris-la et déduis-en la conclusion.

[jules345]

Re,

Oui mais je ne vois pas comment utiliser que lambda est nul pour montrer que le rang de u est pair ?

[silk78]

Je suis d'accord, λ est nul, reste à utiliser ça. Je vais essayer de te guider, dis moi si il y a des points où tu sèches.
Considérons maintenant une valeur propre μ non réelle de u : u étant réel, peut-on en déduire une autre valeur propre de u ?
Quelle est donc la forme factorisée du polynôme caractéristique de u ? Peux-tu alors en déduire le rang de u ?

Silk

[jules345]

Re merci de ton aide,

En fait je ne vois pas comment ton raisonnement va me permettre de conclure ?
Pour ce qui est de la valeur propre complexe, elle sera également nulle non ?

Merci encore

[silk78]

Bonjour,

Non, la valeur propre complexe n'est pas nulle : n'oublie pas que pour des vecteurs complexes, <x,y>=conjugue de <y,x> (si tu l'as deja vu).

[jules345]

Re,

En fait je ne vois pas trop ou tu veux en venir, je vois pas trop comment utiliser le produit scalaire ?

[silk78]

Bon, je vais essayer de te donner un peu plus d'indications.

En fait, on peut dire des choses interessantes a propos des valeurs propres complexes mais ici ca ne nous servirait a rien. La propriete que j'essayais de te faire dire est la suivante : u etant reel, si μ est valeur propre complexe de u, alors le conjugue de μ l'est aussi.

Peux-tu alors me donner la forme factorisee du polynome caracteristique de u ?

[jules345]

Re,

En fait tu voudrais pas en venir au fait que si z=conjugué de z alors z est réel ?

Sinon le polynôme caractéristique est (X-lambda)(X-conjugué de lambda)

Mais comment en déduire le rang avec le polynôme caractéristique ?

Merci encore

[silk78]

Es-tu d'accord qu'il va exister p complexes et p+1 entiers tels que le polynôme caractéristique de u soit :


Que vaut alors dim Ker(u) (et pourquoi) ?
Que vaut alors le rang ? Il te reste juste à conclure

Silk

[jules345]

Re,

Merci de ton aide je vois ou tu veux en venir en déterminant la dimension du noyau et en appliquant le théorème du rang alors on aura le rang mais en discutant avec mon prof il m'a dit qu'il y avait un moyen plus efficace en utilisant le déterminant ?

[silk78]

Hmm, j'avoue ne pas trop comprendre comment, juste avec un determinant, tu arrives a prouver que le rang est pair. Du coup, si jamais tu en as une demonstration, je suis curieux de la voir.

Silk

[silk78]

Mea culpa, il y a effectivement un moyen de le prouver en utilisant un determinant, de facon bien plus rapide, je viens de trouver. Desole.
Voila comment je ferais :

1) Prouve tout d'abord que si f est un endormorphisme antisymetrique inversible d'un espace euclidien E, alors dim E est pair (c'est ici qu'intervient le determinant)
2) De retour su ton cas general u, considere la restriction de u a Im(u) et utilise le 1) pour conclure

N'hesite pas si tu as des questions.

[jules345]

Re,

En fait mon prof m'a donné cette indication: il faut considérer l'endomorphisme w induit sur Im(u) car l'image de u est stable par u donc on a det(w)=det(w*)=det(-w)=(-1)^Im(u)*det(w) donc (1-(-1)^Im(u))det(w)=0

En gros je dois montrer que det(w) est non nul maintenant donc que v est un automorphisme mais je vois pas trop comment m'y prendre ?

Merci encore de votre aide

[silk78]

Bonjour,

Etant donné que w est un morphisme de Im(u) vers Im(u), il suffit de prouver que w est injectif pour qu'il soit bijectif. Je te propose donc de regarder ce que signifie w(x)=0 pour x appartenant à Im(u) : tu devrais pouvoir conclure très rapidement grâce à la question 2)

Par contre, pour être totalement rigoureux, il faudrait prouver que w*=-w.

Silk

[jules345]

Merci
Le caractère stable ne suffit pas pour montrer que w*=-w?

Ensuite je trouve que Ker(w)=Intersection de Im(u) et Ker(u) est ce bon ?

[silk78]

Je suis d'accord pour Ker(w), il te reste alors plus qu'à utiliser le 2) pour conclure.

Pour w*, en soit je suis d'accord avec toi, c'est tout le temps vrai par stabilité et unicité de l'adjoint mais disons qu'il faudrait au moins en avoir fait la remarque dans le cours.

Silk