diagonalisabilité d'un endomorphisme ?

[inviteb00794f0]

Bonjour,

Je suis en spé bcpst
J'aimerais avoir de l'aide sur un exercice que j'ai eu en colle et que je tente de refaire.

Soit A une matrice appartenant à l'ensemble des matrices à coefficients complexes de dimension n*n avec A différente de la matrice nulle

Soit phi l'endomorphisme qui va de M_n(C) dans M_n(C) et qui a toute matrice M associe tr(A)*M + tr(M)*A

(où tr est la fonction trace: la somme des termes diagonaux)

La question est: phi est t'il diagonalisable?

Pour cela, je dois montrer que phi admet n² valeurs propres.
Or: λ est valeur propre ssi il existe une matrice M non nulle telle que: φ(M)=λM
càd: tr(A)*M +tr(M)A=λM

ssi: (tr(A)-λ)*M +tr(M)*A=0

_J'envisage d'abord le cas où M=A (sachant que A différente de 0)

on a alors: (tr(A)-λ + tr(M))*M=0
ce qui nous donne tr(A)-λ+tr(M)=0 (car M=A différente de 0)
càd: λ=tr(A)+tr(M)=2tr(M)
λ=2tr(M) est donc valeur propre (car M non nulle)

_Il Faut maintenant envisager le cas où M différente de A, et je bloque ici...

Si qlq'un pourrait m'aider, je lui en serais très reconnaissant!
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[invited749d0b6]

Bonjour,
Si phi(M)=lambda*M, Tr(A)M+Tr(M)A=lambda*M donc
2Tr(A)Tr(M)=lambda*Tr(M) en prenant la trace.
Si Tr(M)=0, phi(M)=Tr(A)*M.
Si Tr(M) différent de 0, lambda=2Tr(A), donc
si M vecteur propre, Tr(M)A=Tr(A)M.
Si Tr(A) différent de 0, M colinéaire à A donc si n>=2, il n'y a qu'un vecteur propre pour phi tel que Tr(M) différent de 0, donc phi n'est pas diagonalisable.
Si Tr(A)=0, comme A différent de 0, Tr(M)=0 contradiction.
Donc phi n'est pas diagonalisable
Donc phi n'est diagonalisable qu'en dim 1.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Si Tr(A) différent de 0, ... donc phi n'est pas diagonalisable.

1. est un hyperplan.

2. Si , alors .

3.


Si , alors
– est valeur propre, d'espace propre associé l'hyperplan
– est valeur propre, d'espace propre associé la droite
donc est diagonalisable.

[invited749d0b6]

Oups, très juste ! J'avais confondu les matrices de trace nulle avec celles de diagonale nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb00794f0]

Bonsoir, tout d'abord, merci de vos réponses!

Pour être très franc, je dois vous avouer que je n'ai pas compris grand chose à vos explications: Je ne sais pas ce qu'est un hyperplan, c'est une notion qu'on ne voit pas en bcpst (même en 2eme année)

Ensuite, il me manque certainement des notions pour la fonction trace. Pour moi, c'est simplement la somme des termes diagonaux (je ne savais même pas ce que c'était au début de ma colle, il a fallu que je demande à mon colleur). Visiblement, vous faites intervenir des propriétés que je connais pas.

Mon colleur m'avait (il me semble...) demandé de décomposer le résultat dans la base canonique de Mn(C) et on avait ainsi pu montrer que phi admet n² valeurs propres et qu'il est donc diagonalisable.

merci encore de vos réponses

[invite7ffe9b6a]

Si E est un espace vectoriel, alors un hyperplan est un sous espace vectoriel de dimension dim E-1.

En faite le H de God's breath est de dimension n²-1.

Une base doit etre (si je me plante pas):

Si on note la matrice ayant un 1 sur la ieme ligne, jieme colonne.



qui compte n²-n vecteur pour la premiere partie de la base.
n-1 pour la deuxieme .

soit n²-n+n-1=n²-1.

[inviteb00794f0]

Bonsoir, maintenant que je sais ce qu'est un hyperplan je comprend ce qu'a voulu dire God's breath.
Dim(H)+dim (vect(A))=n²-1+1=n² donc phi est diagonalisable.


Mais désolé d'être aussi embetant, mais je ne comprend pas ce que tu as écrit Antho07...

pourquoi dans la 2eme partie de la base tu écris E_ii - E_nn 1=<i=<n-1 ?
pourquoi tu retranches E_nn ?
En fait dans la 2eme partie de la base, tu as voulu écrire tous les 1 sur la diagonale, c'est bien ca?

En fait, je ne comprend pas l'interet de décomposer dans la base canonique... et qu'est ce qu'on décompose? tr(A)M + tr(M)A ?

pardon d'être aussi insistant...

[invite7ffe9b6a]

La famille que jai crée est libre, ok?

C'est une base de H que j'ai crée pour justifie que le H qu'a donné god breath est bien de dimension n²-1.

en gros une matrice de trace nulle peut se decomposer dans cette base.

La premiere partie concerne les coeffs hors de la diagonale, cela on s'en tape, ils peuvent prendre les valeurs qu'ils veulent, c'est pas un probleme.

Ensuite, il reste les coeffs sur la diagonale. Il faut que leur somme soit nul.

En gros j'ai dit on met nimporte quoi sur les n-1 premiers de la diagonale et on impose le dernier coefficient de maniere à avoir la somme nul (en prennant -la somme de tous les autres cela marche).

Plus rigoureusement(et sans doute plus clairement...), je prends A une matrice de trace nulle.

Donc



soit



donc



la diagonale de ma matrice a donc cette tête làje note que les coeffs diagonaux)






alors une "base de cette diagonale"

est bien la famille

plus claire?

[invite57a1e779]

L'application est linéaire de dans .
Elle est surjective car, pour tout dans , , donc de rang 1, et le théorème du rang assure que son noyau, c'est-à-dire , est de dimension .

[inviteb00794f0]

Ah d'accord!
Je pensais que la base que tu avais écrite était la base canonique (je me disais y'a un probleme!).

Merci beaucoup, tout s'éclaire maintenant!

merci d'avoir pris le temps de t'interresser à mes questions!

edit: merci à toi aussi God's breath

[invite7ffe9b6a]

Ah d'accord!
Je pensais que la base que tu avais écrite était la base canonique (je me disais y'a un probleme!).

Merci beaucoup, tout s'éclaire maintenant!

merci d'avoir pris le temps de t'interresser à mes questions!

edit: merci à toi aussi God's breath

Personnellement je ne me souvenais plus que l'ensemble des matrices de trace nul etait un hyperplan, je n'aurais pas eu l'idéé de faire intervenir cet ensemble pour résoudre l'exercice, j'aurais sans doute galérer...

Bref, tes questions m'ont été utile à moi aussi du coup, c'est toujours intéréssant d'échanger

Juste pour revenir à la solution de l'exercice, phi est diagonalisable ssi la trace de A n'est pas nul.

[invite7ffe9b6a]

L'application est linéaire de dans .
Elle est surjective car, pour tout dans , , donc de rang 1, et le théorème du rang assure que son noyau, c'est-à-dire , est de dimension .

aussi, bien plus rapide.

De manière générale un hyperplan est toujours noyau d'une forme linéaire.
La forme lineaire apparaissait clairement dans la définition de l'ensemble j'aurais du y penser tout de suite....

A ce propos pour la surjectivité c'est

[invite57a1e779]

A ce propos pour la surjectivité c'est

Oui, la prochaine fois je tournerais sept fois mon clavier dans mes mains...