Tenseur antisymétrique et produit tensoriel de deux vecteurs

[jpu017]

Hi folks

Il y a un truc qui me chagrine.
Soit E un espace vectoriel, et l'ensemble des tenseurs d'ordre 2 définis sur E,
J'ai cru comprendre que le s.e.v. de constitué par l'ensemble des tenseurs antisymétriques (tjrs d'ordre 2) est de dimension , donc que si la dimension de E est 3, ce s.e.v. est aussi de dimension 3.
... Mais ça veut seulement dire que tout tenseur antisymétrique est combinaison linéaire des vecteurs de base du s.e.v., à savoir les vecteurs (i<j), non ?
Du coup, je n'arrive pas à voir pourquoi si n=3, tout tenseur antisymétrique d'ordre 2 est produit tensoriel de deux vecteurs.

Merci de votre éclairage !
-----

[Amanuensis]

... Mais ça veut seulement dire que tout tenseur antisymétrique est combinaison linéaire des vecteurs de base du s.e.v., à savoir les vecteurs (i<j), non ?

Non, les (i<j) ne sont pas antisymétriques, ils ne peuvent pas servir de base aux antisymétriques. Si on antisymétrise, il n'en reste que la moitié d'indépendants (et on retrouve bien n(n-1)/2) ; en dimension 3 :





et