Suites équivalentes

[inviteec33ac08]

Bonjour,

On me demande de prouver que si (Un) et (Vn) sont deux suites équivalentes alors elles sont de même signe à partir d'un certain rang. J'aimerai prouver cela proprement parce que à mes yeux sa parait évident et au début je pensais raisonner par une disjonction des cas et utiliser la définition à savoir que la limite du quotient Un/Vn tend vers 1 en + infini mais mon prof m'a dit que ce n'était pas DU TOUT la méthode . Du coup je m'en remet à vous pour me donner des indications Merci encore
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[invite6919e4bc]

Hello,

tu peux dire qu'il existe une suite (Wn) telle que Un=Wn*Vn avec Wn qui tend vers 1 en l'infini. Tu sais donc qu'à partir d'un certain rang, Wn>0 (avec la définition de la limite d'une suite). Et voilà normalement c'est terminé. Par contre je ne vois pas pourquoi ton prof ne veut pas du quotient, ça me parait juste, à condition de faire attention à ce que Vn ne s'annule pas à partir d'un certain rang bien sûr.

A+

[gg0]

Bonjour.

Il y a deux choses dans ce que tu as dit au prof :
* utilisation de la définition : difficilement évitable.
* disjonction de cas : Si tu veux dire "suite positive" ou "suite négative", alors ce n'est effectivement pas correct, car une suite n'a aucune raison d'avoir un signe déterminé, même "à partir d'un certain rang".

Le sujet ne serait-il pas : "Montrer que si u~v, alors, à partir d'un certain rang, u_n et v_n sont de même signe" ?

Et c'est très simple d'utiliser la définition pour le montrer.

Cordialement.

[inviteec33ac08]

Re,

En fait ce n'est pas si simple que cela , car la définition enfin celle qui est naturelle revient à écrire que le quotient Un/Vn tend vers 1 quand n tend vers or si (Un) ou (Vn) s'annule on est bien embêté . C'est pourquoi j'aimerai que votre avis sur ma démonstration mon prof m'a juste dit la définition qu'il fallait utiliser .

On suppose que (Un) et (Vn) sont équivalentes donc il existe >0 tel que Un=*Vn avec

Donc pour tout il existe un rang n₀ tel que pour nn0, |*Vn-Vn|.|Vn|

On choisit =

Donc

Soit

On obtient finalement

Voila je ne sais pas si c'est correct en fait dans ma démo c'est surtout la valeur absolue qui me gène

Merci de votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Non je ne pense pas qu'il y ait besoin de tout cela, et notamment des valeurs absolues
Lorsqu'une suite tend vers un réel strictement positif, il existe un rang m et un reel l>0 tels qu'à partir de ce rang m la suite est supérieure à l.
En appliquant cette observation (traduction simple de la limite) à notre quotient qui tend vers 1,on obtient le résultat

Enfin c'est une proposition

PS: attention, car travailler avec des valeurs absolues fait perdre ici tout le sens du problème (à savoir montrer qu'elles sont de même signe): on perd de l'information qu'il n'est, je pense, pas évident de retrouver.
La définition du quotient est donc bien pratique. Ton soucis (les zéros de la suite du dénominateur) proviennent sans doute plus de ta perception de ce quotient (quand est il défini, sous quelles conditions, cas particuliers ?)

[gg0]

Bonsoir Jules385.

Tu t'es compliqué la vie pour à la fin ne plus retrouver la conclusion voulue. Alors qu'il suffit de dire qu'à partir d'un certain rang est strictement positif et de conclure.

Cordialement.

[breukin]

car la définition enfin celle qui est naturelle revient à écrire que le quotient Un/Vn tend vers 1 quand n tend vers or si (Un) ou (Vn) s'annule on est bien embêté

On n'est pas du tout embêté, puisqu'alors elles ne sont pas équivalentes.
Ecrire que Un/Vn tend vers 1, c'est écrire qu'elles ne s'annulent plus à partir d'un certain rang.

[inviteec33ac08]

Ben on peut bien écrire que la suite (Un) égale à n pour n pair et égale à 0 pour n impair s'annule régulièrement et est bien équivalente à elle même ?

[invite705d0470]

Oui tout à fait, ce cas est à prendre en compte en toute rigueur.
Appliquez le raisonnement precedent à epsilon et non plus au quotient, et vous trouvez le résultat souhaité (cf gg0 aussi).

[inviteec33ac08]

En fait je ne vois pas comment conclure ,

je n'arrive pas à avancer avec cette dernière inégalité:



Apparemment lorsqu'on a écrit que avec on peut s'en sortir mais je ne vois pas comment ? Surtout que si () est positif on a directement (Un) et (Vn) de même signe donc () n'est pas forcément une suite positive.

Merci beaucoup

[breukin]

Je pense que tout dépend de la définition de l'équivalence.
Soit on veut une définition de l'équivalence qui tienne compte des suites "pathologiques", pour pouvoir dire par exemple que la suite nulle (ou celle de votre exemple) est équivalente à elle-même, soit on se contente d'une défintion de l'équivalence qui ne se préoccupe pas des suites "pathologiques" (et qui exclut votre exemple).

Une suite qui tend vers 1 est nécessairement positive à partir d'un certain rang.

[inviteaf1870ed]

Bonsoir Jules385.

Tu t'es compliqué la vie pour à la fin ne plus retrouver la conclusion voulue. Alors qu'il suffit de dire qu'à partir d'un certain rang est strictement positif et de conclure.

Cordialement.

Il me semble que tout est dit là, non ?

Si x=ay avec a>0, alors x et y sont de même signe