Approximation et Réduction matricielle

[invite6f25a1fe]

Bonjour,

En physique, on a souvent besoin de calculer des valeurs et vecteurs propres de systemes modélisés par une matrice. Cependant, dans certain cas, ces matrices sont trop complexes et la seule chose qu'on a c'est de pouvoir approximer ces matrices lorsque nos paramètres physiques sont petits. Voila ma question : Existe-t-il un lien entre les valeurs et vecteurs propres du système approché et celle du système exacte ???

J'ai l'impression que c'est OK pour les valeurs propres, mais que les vecteurs propres sont totalement différent (cf. mon exemple)
1) Soit A=([1 0][0 1]) la matrice identité, son spectre est {1, 1} et son espace propre {(1 0), (0, 1)}
2) Soit une matrice proche (au premier ordre) de A, par exemple la matrice B=([1 eps][eps 1]) , son spectre est {1+eps, 1-eps} et son espace propre {(1 1), (1, -1)}
3) Soit une autre matrice proche (au premier ordre) de A, par exemple la matrice C=([1 eps][0 1]) , alors là la matrice n'est même plus diagonalisable

Bref, pour les valeurs propres ca à l'air bon, car 1+eps ou 1-eps est bien une bonne approximation de 1. Mais on voit que les vecteurs propres n'ont rien à voir, et même ne font même plus intervenir ce epsilon. En gros, lorsque je fais tendre epsilon vers 0, ma matrice B tend vers A, les valeurs propres de B tendent l'une vers celles de A, MAIS PAS les espaces propres ... ?????

Donc si quelqu'un pouvait m'éclairer là dessus, voire s'il existe une méthode (même sous certaines conditions) pour obtenir les vecteurs propres d'une matrice à partir d'une approximé de cette matrice, ca serait formidable

Merci bien pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Je ne suis pas spécialiste d'analyse numérique, mais il peut y avoir problème même pour les valeurs propre. Si tu approximes la matrice nulle (une seule valeur propre : 0) par une matrice diagonale dont les coefficients diagonnaux sont tous non nuls, distincts et proches de 0, tu passes à n valeurs propres !
Et même problème si tu approximes la deuxième matrice par la matrice nulle (cas très possible puisqu'on arrondit à 0 les nombres proches.

Cordialement.

NB : Sauf erreur de ma part, on parle de "conditionnement" pour dire qu'on modifie le calcul pour que ça n'arrive pas.

[invite6f25a1fe]

Merci pour ta réponse.

Ce n'est pas (trop) grave si le nombre de vecteurs propres augemente lorsque j'approxime ma matrice tant que les valeurs propres restent continues, j'entends par là

Apparamment il y a bien continuité car on peut montré que:
ou U est la matrice des vecteurs propres de A (donc non perturbé)

Cependant, la question reste ouverte pour les vecteurs. Dans mon exemple on voit qu'il n'y a a priori pas continuité des vecteurs propres, mais peut être que sous certaines conditions elle existe, ou alors qu'on peut trouver des méthodes permettant de trouver des approximés des vecteurs propres de A à partir de l'approximé de A que l'on a.

[invite76543456789]

BOnjour,
Il n'y a deja pas de manière naturelle de choisir tes vecteurs propres.
Si ta matrice est l'identité, quels sont les n vecteurs propres que tu choisis?
A moins que tu ne regarde les espaces propres tout entier mais la faudrait mettre dessus une topologie, genre topologie de vietoris.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Bonne remarque, c'est vrai que mes vecteurs propres sont plus ou moins arbitraires.

Ce qui m'intéresse vraiment au final, c'est l'espace engendré par ces vecteurs propres, donc l'espace propre tout entier. Je ne m'y connais pas assez en topologie et surtout pas celle de Vietoris, mais si tu as des infos je suis preneur.