cercles en géométrie absolue

[invitee75a2d43]

Bonjour, je suis en train de sécher sur un exo de géométrie absolue, apparement des plus simples

Soit une cercle K(M,a) et A, B deux points de ce cercle. Montrer que l´intérieur de AB est à l´intérieur du Cercle.
Je signale qu´il s´agit de géométrie absolue, donc pas de métrique.
Je me suis donné cette définition de l´intérieur d´un cercle. C est dans int(K) <=> il existe C´élément de K inter MC tel que M*C*C´.
J´ai beau retourner le problème, j´ai plus d´idée.
En gros il s´agit de prouver la convexité de l´intérieur du cercle, enfin prespque.
merci
Christophe
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Quelle est la définition d'un cercle sans contexte métrique ?

[invite6754323456711]

Quelle est la définition d'un cercle sans contexte métrique ?

Dans le contexte de la topologie non définie par une métrique ?

Patrick

[Amanuensis]

Bonjour,

Quelle est la définition d'un cercle sans contexte métrique ?

C'est défini comme les points P tels que OP congruents à OM, O et M deux points distincts.

Mais je ne comprends pas ce qui est entendu par "géométrie absolue", pour moi c'est la géométrie sans l'axiome des parallèles. Mais les mesures d'angles et de segments ne demandent pas cet axiome !?!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

En géométrie absolue, tu as:

- Les axiomes d´incidence
- Les axiomes d´ordre
- Les axiomes de congruence

Tout ça ficelé par Hilbert pour palier aux insuffisances des axiomes d´Euclide.
Dans cette géométrie, voilà la définition d´un cercle, K(M,a)

M est un point, a un segment (Strecke en Allemand). K (comme Kreis en Allemand) est l´ensemble des points A tels que le segment [MA] est congruent à a.
Mais attention: on n´est pas dans un espace métrique, un segment n´est pas un nombre, il y a une relation plus ou moins d´ordre dans les axiomes d´ordre, mais pas dans le sens qu´on connait dans un corps ordnonné. D´ailleurs il n´est pas question de corps.
J´ai quelques termes en Allemand dans mon texte car j´habite dans le pays de Hilbert, même dans sa ville.
(D´ailleurs, hier soir à la coupe d´Europe, c´est Hilbert qui a mis une dérouillée à Euclide ).

[Amanuensis]

Oui, c'est presque ce que j'aurais compris de ce terme avant cette discussion.

Si on ajoute un axiome de continuité (genre Dedekind) cela suffit pour définir une notion de longueur de segment (un réel (1)), pour avoir l'inégalité triangulaire et une distance, il me semble.

L'article http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_geometry n'est pas clair sur le sujet, mais ma référence habituelle sur ces sujets, Euclidean and Non-Euclidean Geometries - Devel. and Hist. 3rd ed - M. Greenberg (Freeman,, 1993), est claire sur l'inclusion d'un axiome de continuité (Chapitre 4, Neutral geometry --ce qui est un autre nom de la géométrie absolue).

Dire "pas de métrique" (message #1) est du coup pas très clair.

(1) L'ordre permet de construire Q, les axiomes de continuité permettent de passer à R. Pas en tant que corps en premier lieu, en tant que topologie de la ligne.